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2025-04-17T00:16:40.000Z

# 大数据与云计算

# 大数据时代

# 大数据定义

指规模巨大，无法在合理时间内用主流 IT 系统进行采集、存储、管理、处理和分析，以支持决策的海量数据集。

# 大数据特征 (4V+1C)

Volume (量): 数据量巨大 (PB 级常见)。
Velocity (速): 数据产生速度快，需要快速处理。
Variety (类): 格式多样 (结构化、半结构化、非结构化数据，如文本、音频、视频)。
Value (值): 初始价值密度低，需要处理才能提取重要价值。
Complexity (复杂性): 处理和分析难度大。

# 云计算 —— 大数据的计算

# 云计算和大数据关系

类比: G = f (x)，其中目标 (G) 通过云计算 (f) 对大数据 (x) 进行处理来实现。
云计算是处理大数据的手段。
两者相互依存：没有大数据，不需要云计算；没有云计算，无法有效处理大数据。

# 云计算的起源与定义

初始概念：像公用事业 (水、电) 一样提供海量资源池，按需付费；从拥有资源转向共享资源 (类似公共交通 vs 私家车)
定义:
- 长定义：一种商业计算模型，将任务分布在资源池上，提供按需的计算、存储和信息服务。
- 短定义：通过网络提供按需、动态可扩展、廉价的计算服务。
- 通用定义：一种分布式计算的商业模式，利用大量廉价机器构建可靠的海量资源池，通过网络按需访问。

# 云计算的核心概念：资源池

“云” = 大规模的 (通常是廉价) 服务器集群。
资源被池化、虚拟化，并通过软件进行管理以实现可靠性和自我维护。
计算能力通过互联网作为商品提供。
用户动态按需访问资源，专注于业务逻辑。

# 云计算的关键特征 (7 个)

超大规模
虚拟化
高可靠性
通用性
高可伸缩性
按需服务
极其廉价 (规模经济)

# 云计算的商业特征

是一种商业模式 / 产业技术，不仅仅是学术研究。
注重实用性和经济性。
整合了成熟技术：互联网、分布式计算、虚拟化、自治管理。

# 云计算发展现状

# 服务模式分层

IaaS (基础设施即服务): 基础计算 / 存储 / 网络 (例如 Amazon EC2/S3, 阿里云 ECS)。面向系统开发者。(通用)
PaaS (平台即服务): 应用运行环境 (例如 Google App Engine, Azure, Hadoop)。面向应用开发者。
SaaS (软件即服务): 即用型应用程序 (例如 Salesforce CRM, Alexa Web)。面向最终用户。(专用)

# 部署模式

公有云：对公众开放，由提供商管理。
私有云：为单个组织服务，自行管理或由第三方管理。
混合云：公有云和私有云的结合。

# 云计算实现机制

# 分层架构

物理资源层：计算机、存储、网络、数据库、软件。
资源池层：对物理资源进行分组 (计算池、存储池、网络池、数据池、软件池)。
管理中间件层：管理资源、任务、用户、安全。(关键组件)。包括用户 / 任务 / 资源 / 安全管理子模块 (负载均衡、故障处理、监控、认证 / 授权、计费等)。
SOA (面向服务的架构) 层：将能力暴露为标准的 Web 服务 (接口、注册、发现、调用、工作流)。

# 云计算优势

# 成本效益

解决传统 IT 成本上升问题 (管理、电力 / 冷却)
规模经济：大型数据中心单位成本显著降低 (网络、存储、管理)
优化选址：部署在电力廉价 (水电)、气候凉爽、土地成本低的地区
自动化：降低人力成本
高利用率：云计算利用率约 80%，而传统 IT 仅 10-15%，总成本节省超过 30 倍

# 用户收益

低规格的客户端设备即可满足需求。
按需付费模式使得用户能以可承受的价格获得强大的资源。
无需购买 / 维护软件或担心硬件升级。
节省资源，环境友好。

# 核心架构思想

“团结就是力量” - 许多廉价的商用机器协同工作，提供大规模、可靠、高性能的服务 (类比：鱼群 vs 鲨鱼)。

# 复习题 (习题)

大数据是如何形成的
数据产生方式的改变；人类的活动越来越依赖数据
新摩尔定律 (Jim Gray 版本) 的含义
- 全球信息量呈指数增长：每 18 个月产生的新数据量等同于此前累积的全部数据总和
- 强调数据规模爆炸式扩大，说明对存储、计算和分析能力提出了更高要求
- 反映信息技术和社会活动对数据生成与处理的双重推动作用
云计算的特征
- 虚拟化：对计算、存储、网络资源进行抽象与隔离，提高利用率与灵活性。
- 按需服务：动态分配与释放资源，用户只为实际使用付费。
- 商用硬件：使用廉价大规模服务器构建资源池，降低总体成本。
- 通用性：支持多种应用场景与工作负载。
- 可靠性：通过冗余、故障检测与自动恢复保障服务可用。
- 可伸缩性：根据负载变化快速横向或纵向扩展资源。
云计算的分类
- 服务模型
  - IaaS（基础设施即服务）
  - PaaS（平台即服务）
  - SaaS（软件即服务）
- 部署模式
  - 公有云：第三方提供商面向公共的云服务。
  - 私有云：组织内部或委托第三方私有部署。
  - 混合云：公有云与私有云结合，兼顾灵活性与安全性。
云计算的架构层次
1. 物理层：物理服务器、存储、网络设备等硬件资源。
2. 资源池层：通过虚拟化将物理资源划分为计算池、存储池、网络池等。
3. 中间件层：负责资源管理、调度、监控、安全和计费等核心功能。
4. 服务 / SOA 层：以标准化 API 或 Web 服务形式向用户暴露能力。
云计算相对于传统 IT 的成本优势
- 规模经济：大规模数据中心降低单位硬件和运维成本。
- 按需付费：避免闲置资源浪费，费用与使用量挂钩。
- 自动化运维：集中管理、自动部署和弹性伸缩减少人力成本。
- 高资源利用率：多租户共享提高硬件利用率，进一步降低总体投入。

# 分布式计算

# 分布式计算概述

# 基本概念

集中式计算:
- 所有数据和任务集中在一台计算机上处理。
- 该计算机负责管理和处理所有数据 / 任务，并提供服务给用户。
分布式计算:
- 利用多台计算机联合完成任务。
- 通过网络通信，按规则分配工作量和数据，协作完成处理任务。

# 集中式 vs 分布式对比

对比项	集中式计算	分布式计算
定义	计算资源集中一处处理管理	计算资源分散多处处理管理
资源分配	计算机集中处理管理所有资源	资源分散在多台计算机上管理分配
数据共享	数据集中存储，只能由该计算机访问共享	数据可分布在多台计算机上，可共享访问
处理能力	受单机硬件限制	通过任务分配给多台计算机提高处理能力
可靠性 / 安全性	单点故障 / 攻击影响整个系统	单个计算机故障 / 攻击，其他计算机仍可继续计算任务
成本	通常需大型机 / 高性能服务器，成本高	可利用廉价计算机集群，成本相对较低

# 分布式计算优点

高效性：利用多机处理能力，提高效率和吞吐量。
可扩展性：通过增加节点扩展计算能力。
容错性：通过备份和任务处理节点实现容错和高可靠性。
低成本：利用廉价计算资源降低成本。
数据局部性：利用计算节点附近数据，减少传输开销。

# 集中式计算优点

简单性：统一管理，简化计算和管理复杂性。
稳定性：单计算机保证计算和管理的稳定可靠性。
统一性：统一管理控制数据和任务流程规则。
安全性：单计算机管理保护数据和任务安全机密性。
性能优化：单计算机优化资源使用，提高效率和性能。

# 分布式计算应用场景

大规模数据处理 (搜索引擎、数据挖掘、机器学习)
高性能计算 (科学计算、模拟、仿真)
分布式存储 (分布式文件系统、分布式数据库)
实时数据处理 (流计算、实时推荐)
区块链技术 (比特币、以太坊)

# 分布式计算原理 (分而治之)

『分』: 将复杂庞大任务划分为小任务。
『计算』: 子任务分配到不同节点并行执行。
『合』: 汇总各节点结果得到最终结果。
难点：任务划分、多节点通信方式。

# 分布式计算步骤

设计分布式计算模型：决定组件如何运行、通信、管理节点。
分布式任务分配：解决任务能否 / 如何分配到各节点。
编写并执行分布式程序：使用特定框架 / 模型转化算法为实现，保证集群高效运行。

# 分布式计算的理论基础

# ACID 原则 (本地事务管理、内部一致性)

原子性 (Atomicity): 操作要么全成功，要么全失败，无中间状态。
一致性 (Consistency): 事务处理前后，不改变数据库原本的一致性约束。(核心目标)
隔离性 (Isolation): 并发事务间独立，互不干扰。 (手段：写锁、读锁、范围锁)
持久性 (Duration): 事务生效后，对数据库的改变永久保存。(手段: Commit Logging)
困难: "写入磁盘" 非原子操作。
手段：原子性、隔离性、持久性
目标：一致性

# ACID 原则缺点

性能开销：锁定、日志记录影响并发处理能力。
扩展性：强制一致性，难扩展到大规模分布式系统多节点。
难以维护：事务失败回滚复杂，需协调多组件交互。

# CAP 理论 (分布式事务、外部一致性)

定义：分布式系统最多同时满足以下三项中的两项：
- 一致性 (Consistency): 所有节点访问同一份最新数据副本。
- 可用性 (Availability): 每次请求都能获取非错响应 (不保证最新数据)。
- 分区容错性 (Partition tolerance): 网络分区时，系统仍能继续运行。(分布式系统必须满足)
起源: Eric Brewer 提出猜想 (2000)，Seth Gilbert & Nancy Lynch 证明 (2002)。

# CAP 理论阐述

正常流程: N1, N2 数据一致 (V0)，均可用。网络正常，分区容错性满足。
网络分区时: N1 与 N2 网络断开。用户向 N2 请求读数据。
- 选择一 (牺牲一致性 C, 保留可用性 A): N2 无法同步 N1 的新数据 V1，响应旧数据 V0 给用户。(AP)
- 选择二 (牺牲可用性 A, 保留一致性 C): N2 阻塞等待，直到网络恢复、数据同步 M 完成，再响应最新数据 V1。(CP)

# CAP 权衡

(1) CA w/o P: 放弃分区容错性。假设节点间通信永远可靠。不是真正的分布式系统。(例: Oracle RAC 使用共享磁盘避免网络分区)
(2) CP w/o A: 放弃可用性。保证强一致性，分区发生时可能导致请求超时或错误。(例: HBase RegionServer 宕机期间数据不可用)
(3) AP w/o C: 放弃 (强) 一致性。保证高可用，分区发生时节点用本地数据提供服务，可能导致数据不一致。(例: Redis 分区后各节点返回本地数据) (主流选择)

# BASE 理论

定义：对 CAP 中一致性和可用性权衡的结果，核心思想是即使无法做到强一致性，但应用可采用适合方式达到最终一致性。
Basically Available (基本可用): 系统在分区、部分节点故障时，仍能保证核心功能可用。
Soft State (软状态): 系统状态允许在不同节点间存在中间状态，不要求实时一致。
Eventually Consistent (最终一致性): 系统中所有数据副本经过一段时间后，最终能够达到一致状态。
核心思想：牺牲强一致性换取高可用性和灵活性，适用于对一致性要求不高的场景。

# BASE 与 ACID 对比

ACID: 传统数据库设计理念，追求强一致性模型。
BASE: 大型分布式系统设计理念，通过牺牲强一致性获得高可用性。

# 一致性散列

问题背景：分布式集群存储数据，如何将对象散列到不同机器？
简单散列: server = hash(key) mod N (N 为机器数)。
再散列问题 (Rehashing): 当服务器数量 N 变化 (增 / 减机器) 时， hash % N 结果大多会改变，导致大部分 KV 对需要迁移。

# 一致性散列算法 (Consistent Hashing)

定义：将整个哈希值空间 ( $e.g., 0 ~ 2^{128}-1$ ) 组织成虚拟圆环。
映射：将服务器和对象 Key 都通过哈希函数映射到环上。
归属：对象存储在沿环顺时针遇到的第一个服务器上。
应用：高流量动态网站的分布式缓存 (Redis, MemCache) 实现请求动态均衡。
容错性：节点宕机 (Node C)，只影响其负责的数据 (对象 C)，这些数据重定位到下一个节点 (Node D)。对象 A, B, D 不受影响。
扩展性：增加节点 (Node X)，只影响新节点与其前一个节点之间的数据 (对象 C 需重定位到 Node X)。对象 A, B, D 不受影响。
虚拟节点：为解决物理节点哈希分布不均问题，将每个物理服务器映射为多个虚拟节点分散在环上，使数据分布更均匀。权重高的服务器可分配更多虚拟节点。

# 分布式系统概述

# 基础知识 (大数据驱动)

驱动力：大数据技术需求推动分布式系统发展。
演变：源于互联网公司大规模分布式存储系统需求。
扩展方式:
- 纵向扩展 (Scale Up): 传统方式，使用更强服务器 (小型机 -> 中型机 -> 大型机)，成本高、稳定。
- 横向扩展 (Scale Out): 使用大量廉价普通服务器通过网络连接，成本低、故障率高。
挑战与解决:
- 故障率高 -> 软件实现自动容错、保证数据一致性。
- 增加服务器 -> 软件实现自动负载均衡，系统处理能力线性扩展。

# 实例：Apache Hadoop

定义: Apache 基金会开发的分布式存储与计算框架。
创始人: Doug Cutting (就职 Yahoo 期间开发，现 Cloudera)。
思想来源: Google 论文公开的 GFS, MapReduce, Bigtable 思想。
发展简史:
- 2003-2004: Doug Cutting 基于 Google 论文实现 Nutch (DFS + MapReduce 微缩版)。
- 2005 秋: Nutch 子项目引入 Apache 基金会。
- 2006.3: MapReduce 和 NDFS (后改名 HDFS) 纳入 Hadoop 项目。
核心组件:
- HDFS (Hadoop Distributed File System): 提供高可靠、高扩展、高吞吐率的分布式数据存储服务。
- MapReduce: 并行、分布式计算框架，易使用、高容错、高扩展。
云计算服务模型: Hadoop 通常属于 PaaS (平台即服务) 层，运行在 IaaS (如 AWS EC2/S3, 阿里云 ECS) 之上。

# 分布式系统的进阶

# 分布式存储系统 (5 个子方向)

结构化存储：关系型数据库 (MySQL)。强一致性 (银行系统)，支持随机访问 (SQL, 索引)。
非结构化存储：分布式文件系统 (GFS, HDFS)。存储海量数据 (网页)，配合批量处理。高扩展、高吞吐。不支持随机访问，不适用低延时、实时应用。
半结构化存储: NoSQL, KV Store (对象存储)。解决非结构化存储随机访问性能差问题。通常抛弃 ACID 换取性能和扩展性。
In-memory 存储: Memcached, Redis。数据存内存，读写高性能。
NewSQL: Google Spanner。兼备 RDBMS (SQL, ACID) 和 NoSQL (扩展能力)。(目前工业界支持较少)

# 分布式计算系统

分布式计算 vs 并行计算:
- 并行计算：目标是高性能 (投入更多机器，数据量不变，计算更快)。无内置 "容错" 概念。
- 分布式计算：目标是高可扩展性 (投入更多机器，处理更大规模数据)。核心是容错。
分布式计算系统 (5 个子方向):
1. 传统基于消息的系统: MPI (Message Passing Interface)。框架灵活，约束少，不支持容错 (或有限)。(MPICH2, OpenMPI)
2. MapReduce 家族系统: MapReduce, Spark。程序结构有严格约束 (Map, Reduce 等高层操作)，抽象为 DAG。可扩展至超大规模集群，具备容错机制，但节点同步效率可能低。
3. 图计算系统: Pregel (BSP 模型), GraphLab (GAS 模型)。专门处理图结构数据。
4. 基于状态的系统: Piccolo, DistBelief, Parameter Server。适用于需要维护和同步全局状态的应用 (如大规模机器学习)。
5. 实时流处理系统: Apache Storm。高效实时处理流式数据，关注实时性。在连续数据窗口内执行 SQL 类操作。

# 1. 传统基于消息的系统 (MPI)

基本思想：程序分多个进程，进程间传递消息和数据。
进程位置：可在同机不同线程、不同机器进程、甚至不同操作系统进程。
通信模型:
- 点对点通信：两进程间直接通信 (发送、接收)。
- 集合通信：多进程间数据收集与分发 (广播、聚集、散布)。
示例: scatter (发散：将根进程数据分发给各进程), gather (收集：将各进程数据收集到根进程)。

# 2. MapReduce 家族系统 (MapReduce, Spark)

MapReduce:
- 批处理模型。
- 数据存储在磁盘上，适合大规模数据批处理。
- 磁盘 I/O 较多。
Spark:
- 支持流处理和批处理两种模型。
- 采用内存计算思想，更灵活、更快。

# 3. 图计算系统 (Pregel/BSP & GraphLab/GAS)

Pregel (BSP 模型 - Bulk Synchronous Parallel):
- 计算任务分若干超级步 (Supersteps)。
- 每步包含三个阶段: 计算、通信、同步。
- 所有节点完成计算和通信后，等待同步，再进入下一步。
- 同步通信模式：本轮计算结果在下一轮生效。
GraphLab (GAS 模型 - Gather, Apply, Scatter):
- 计算任务分三个阶段:
  - Gather: 从邻居节点收集信息。
  - Apply: 根据收集的信息更新自身状态。
  - Scatter: 将更新后的状态信息发送给邻居节点。
- 异步通信模式：本轮计算结果在本轮立即生效。算法收敛快，但可能存在数据不一致问题。
- 可在单机或分布式环境运行。Pregel 只能在分布式环境。

# 5. 实时流处理系统 (Storm)

定义：处理实时、连续、无界数据流的系统。
特点:
- 简单编程模型：类似 MapReduce 降低并行批处理复杂性，Storm 降低实时处理复杂性。
- 多种编程语言：默认 Clojure, 支持 Java, Ruby, Python 等。
- 容错性：管理工作进程和节点故障。
- 横向扩展：计算在多线程、进程、服务器并行进行。
- 可靠的消息处理：保证消息至少被完整处理一次。失败时从源头重试。
- 快速：使用 ZeroMQ 作为底层消息队列，保证消息快速处理。
Storm vs MapReduce/Spark (数据与计算流向):
- MapReduce/Spark: 计算传递给数据。节点存储 / 缓存数据集，任务提交给节点。批量处理持久化全量数据。
- Storm: 数据传递给计算。节点实现基本计算过程，数据项流经网络节点。动态处理大量生成小数据块。

# 分布式资源管理系统

需求背景:
- 多种计算框架 (MapReduce, Spark, Storm, MPI) 可能并存。
- 希望部署到公共集群，共享资源，统一管理。
目标：提高资源利用率、降低运维成本、方便数据共享。
典型代表: Mesos, YARN。

# 统一管理调度平台特点

支持多种计算框架：平台本身不耦合特定框架。
扩展性：平台自身不应成为框架水平扩展的瓶颈。
容错性：在保持原有框架容错性基础上，平台自身也应具备良好容错性。
高资源利用率:
- 静态资源分配 (问题): 每个框架分配固定集群，利用率低 (e.g., 10-30%)。
- 资源统一管理 (解决): 统一管理调度各种框架，提升整体资源利用率 (e.g.,>70%)。
细粒度的资源分配:
- 粗粒度共享 (Coarse-Grained): 整个节点分配给一个框架 / 任务。
- 细粒度共享 (Fine-Grained): 直接按任务实际需求 (CPU, 内存) 分配资源。(Mesos 方式)

# Apache Hadoop YARN (Yet Another Resource Negotiator)

背景：下一代 MapReduce (MRv2)，为解决 MRv1 扩展性差、不支持多计算框架问题。完全重写。
架构:
- ResourceManager (RM): 全局资源管理器 (Master)。负责资源分配与调度。功能简单，不易成瓶颈。
- NodeManager (NM): 节点管理器 (Slave)。负责启动 / 监控 Container，上报资源使用情况给 RM。
- ApplicationMaster (AM): 每个应用程序对应一个 AM。负责向 RM 申请资源，与 NM 交互启动 / 监控任务。(有具体应用的调度功能)
- Container: YARN 中资源分配的基本单位 (CPU, 内存等)。

# Apache Mesos

架构:
- Mesos Master: 保存 Framework 和 Slave 状态。使用 Zookeeper 解决单点故障。全局资源调度器。
- Mesos Slave (Agent): 运行任务，向 Master 汇报状态，运行 Executor。
- Framework: 计算框架，包含 Scheduler (向 Master 注册，接收资源 offer) 和 Executor (在 Slave 上运行具体任务，e.g., Hadoop TaskTracker)。
资源分配流程 (两层调度):
1. Agent 向 Master 汇报空闲资源。
2. Master 根据策略将资源 Offer (e.g., <Agent1, 4 CPU, 4GB RAM>) 提供给某个 Framework (e.g., Framework 1)。
3. Framework Scheduler 回复 Master 是否接受 Offer，并告知要在该资源上运行的任务列表及资源需求。
4. Master 将任务信息发送给 Agent。
5. Agent 分配资源给 Framework 的 Executor，Executor 启动任务。

# Mesos 与 YARN 比较

框架担任的角色:
- Mesos: 计算框架需完全融入 Mesos (部署 Scheduler 和 Executor)。添加新框架需部署。
- YARN: 框架仅是应用程序库。无需事先部署框架。YARN 运行和使用更方便。
调度机制 (均为双层调度):
- Mesos: 资源推送。Master 将资源 Offer 推给 Framework，由 Framework 决定是否接受及如何使用。Mesos 本身不知应用资源需求。
- YARN: 资源请求。ApplicationMaster 向 YARN (RM) 汇报任务资源需求。YARN 根据需求为应用分配资源。

# 课后习题

分布式计算的定义和特征是什么？
什么是 ACID 原则？
什么是 CAP 理论？
什么是 BASE 理论？
如何理解最终一致性？
各类分布式存储、分布式计算的区别与联系是什么？

# 课外思考

为什么日常生活中接触到的分布式系统越来越多了？
CAP 定理中几个关键因素为什么不能同时保证？不同组合有什么应用场景？
了解区块链背景后，说说你理解的区块链作为一种分布式系统背后的全新理念。

# 云计算架构

# 云计算的本质

# 革命性概念：IT 作为服务

核心思想：云计算将所有 IT 资源包装成服务进行销售，类似电力公用事业（引用 Nicholas Carr《大转换》）。
类比:
- 蒸汽技术：难以远程传输，本地供给。
- 发电厂：集中生产，远程供应，形成规模效应。人们放弃自有发电机。
- 云计算：集中化 IT 资源，提供新的技术和商业模式。人们可放弃自有 IT 资产，不必因资产由他人掌握而不安。
社会影响：云计算不仅影响各行业，还引发伦理道德乃至政治问题（如数据主权、隐私、算法影响、跨境数据管理）。
带来的机遇 / 平等性:
- 低门槛发布软件触达全球用户。
- 无需高昂初始投资即可使用先进平台。
- 降低对设备和位置的依赖。
- 支持多租户。
- 依托云商架构获得高可靠性 / 可用性。
- 弹性伸缩应对需求波动。
- 按需增长支持企业持续发展。

# 云计算系统工程

挑战：将大量计算资源组织在一起协同工作，需要系统性管理方法解决问题。
关键问题:
- 如何在扩大规模的同时保证性能近线性增长？
- 如何在组件可能故障时保证系统整体稳定运行？
- 如何快速重组资源以新架构适应不同业务需求变化？

# 云数据中心

建设考量：需考虑持续性、能耗、安全、冷却、带宽、管理等，需自动化管理机制（故障检测定位、自动开关机）。
模式:
- 传统模式：建机房、布线、放置连接机器。规模受建筑限制（如微软都柏林数据中心）。
- 基于集装箱模式: Google 首创，用集装箱作机房单元（可容纳上千台服务器），可堆叠 / 并排形成巨大数据中心（如华为 AIO 集装箱数据中心）。

# 云的工作负载模式 (掌握)

时开时停：使用一段时间后停止，按用量计费，停止时释放资源。
用量迅速增长: IT 资源使用量随时间推移持续增长。
瞬时暴涨：特定时间点用量出现暴涨和暴跌。
周期性增减: IT 资产用量呈现周期性增长和消减。

# 云计算的架构

# 计算架构的进化

演进路径:
1. 中央集权架构 (终端 + 主机)
2. 客户机 / 服务器 (C/S) 架构
3. 中间层架构 (三层架构)
4. 浏览器 / 服务器 (B/S) 架构
5. C/S 与 B/S 混合架构
6. 面向服务的计算架构 (SOA):
  - 程序完成自身任务，同时暴露服务供其他程序通过统一接口调用。
  - 云计算将一切作为服务（软件、IT 资源），是服务计算的极致体现。

# 一般云计算架构的二维视角

组成:
- 前端：呈现给客户的部分 (客户设备、网络、访问界面如 Web 浏览器)。
- 后端 (云): 由各种组件构成 (服务器、存储、云管理软件等)。
内部结构: (见图) 硬件 -> 基础架构 -> 管理软件 (YARN, MapReduce 等) -> 应用程序。强调并发、协调、容错、开放接口、数据密集、开放数据等特性。

# 基础架构的分层结构

虚拟化层 (云的基石): 将硬件转换为一致的 IT 资源（计算、存储），便于云管理软件细致管理（分配、动态增减）。
Web 服务层 (无状态的云服务): 将云资源通过方便界面提供给用户使用（屏蔽底层虚拟机复杂性）。
服务总线层 / 通信中间件层 (云与用户的桥梁): 封装服务，分离用户与虚拟化层，连接 Web 服务与用户。
客户机用户界面层 (将云呈现给客户): 将应用程序呈现给客户（通常是 Web 门户）。

# REST 架构：云计算的软件架构

基础设施四层之间采用无状态、基于服务的 REST (Representational State Transfer, 表征状态转移) 架构。
基本思想：面向资源来抽象问题，与面向过程的编程有本质区别。
核心概念:
- 资源 (Resource): 信息或数据本身 (如文章内容)。
- 表征 (Representation): 资源与用户交互时的表示形式 (如 HTML, PDF)。
- 状态 (State): 特定语境下才能产生的上下文信息 (如 “下一篇” 依赖 “当前篇”)。REST 强调无状态 (Stateless)，即状态由客户端维护并在请求时告知服务端。
- 转移 (Transfer): 服务端执行的、改变状态的动作 (如从 “当前篇” 转移到 “下一篇”)。

# 云栈和云体

云体 (Cloud Body): 云计算的物质基础，软硬件环境资源集合（网络、服务器、存储器、交换机等通过网络连接）。
云栈 (Cloud Stack) / 云平台：在云体上建造的运行环境，支持应用发布、运行、监控、调度、伸缩（如 Azure, App Engine, Cloud Foundry）。
云计算 (Cloud Computing): 利用云体和云平台进行的计算或处理。特点是按用量计费、资源可伸缩。包括云存储、云服务、在云上运行软件 / 算法。
云 (Cloud): 云体、云栈、云计算的结合体，有时也称为云端或云环境。

# 云栈 (三层云栈架构 - 服务模式)

层次：每一层提供一种抽象，越往上离物理现实越远，易用性越高。通过服务 / 功能实现抽象。
常见三层:
- IaaS (基础设施即服务): 提供基础计算 / 存储 / 网络资源（如 EC2/S3, 阿里云 ECS）。面向系统管理员 / 开发者。(通用)
- PaaS (平台即服务): 提供应用程序运行环境（如 Google App Engine, Azure, Hadoop）。面向应用开发者。
- SaaS (软件即服务): 提供特定应用软件功能（如 Salesforce CRM, Alexa Web）。面向最终用户。(专用)

# 云体

与传统操作系统的对比:
- 云环境：计算资源可 > 1 CPU (多节点)，独立存储，提供通信通道。虚拟化提供灵活资源 (N 个 CPU)。
- 传统 OS: 应用使用 CPU、内存 / 磁盘，与其他程序通信。OS 提供进程 / 线程、内存管理、文件系统、IPC / 网络等抽象，并负责控制调度。

# 软件定义的数据中心 (SDDC)

# 数据中心的历史

演进：集中 -> 分散 -> 再集中。新的集中模式（云）远超大型机时代。
阶段: 60 年代 (大型机) -> 80 年代 (微型计算机) -> 90 年代 (C/S 推动 DC 发展) -> 21 世纪 (IDC 出现，现代 DC)。

# 传统数据中心的问题

机器过多：手动配置（OS、网络、注册、用户分配、软件）劳动密集。
利用率过低：服务器利用率常低于 10%，浪费资源和电力（>90% 成热量）。
应用迁移困难：硬件升级换代导致应用迁移复杂（重配置、兼容性问题）。
存储需求增长快：存储更新关键且复杂，设备异构性（厂商、接口）导致管理困难、不兼容。

# 什么是软件定义数据中心 (SDDC)？

起源：服务器虚拟化技术的延伸。
核心：将虚拟化范围从计算扩展到存储和网络，并提供软件工具管理这些虚拟化资源。
定义 (IBM): SDDC 将虚拟化的计算、存储、网络资源与标准化管理平台结合，跨虚拟化层实现管理标准化，支持基于策略的自动化，简化运营，更快以服务形式交付 IT 资源。

# SDDC 的分层模型与架构分析

硬件基础设施：服务器、存储、网络设备 (最好支持硬件虚拟化)。
软件抽象 (虚拟化层): 硬件能力抽象为统一管理的资源池 (虚拟机、虚拟存储、虚拟网络)。
软件定义 (控制层): 对计算、存储、网络资源集中管理，提供权限、备份、高可用等特性 (如 vCenter)。
服务的自动化配置 (编排层): 按预设步骤自动部署服务 (如 vCAC)。

# 实践: OpenStack

定义：云平台操作系统（分布式），统一管理多节点计算、存储、网络资源池，通过 Web 界面管理。
重要性：市场需求大，人才缺口大。
目标：提供实施简单、大规模扩展、丰富、标准统一的云计算管理平台。支持各类云环境。
OpenStack 组件:
- Nova (计算): 核心，管理 VM 生命周期。
- Horizon (仪表盘): Web GUI 界面。
- Keystone (身份): 认证与授权。
- Neutron (网络): SDN 网络虚拟化管理。
- Cinder (块存储): 持久化块存储服务。
- Swift (对象存储): 分布式对象存储 (类 S3)。
- Glance (镜像): 管理 VM 镜像。
- Ceilometer (监控): 资源监控与计量。
- Heat (编排): 基于模板编排复合云应用。
安装实践：使用 Packstack 工具安装。步骤包括初始化配置、网络配置、主机名解析、YUM 源配置、安装 Packstack。

# 课后习题 (小结)

云计算中的工作负载有哪几种模式？它们的特征是什么？
什么是 REST 设计风格？
如何理解 “云栈” 和 “云体” 的概念？
什么是软件定义的数据中心？它的特点是什么？

# 课外思考 (小结)

云计算的架构是如何演化的？
如何理解 “软件定义一切” 的说法？

# 动手实践 (小结)

任务：通过 OpenStack 官网了解项目情况。
任务：通过 Packstack 工具安装并体验 OpenStack。

# 虚拟化技术

# 虚拟化的定义

# 虚拟化历史

起源: 20 世纪 50 年代。
1959 年: Christopher Strachey 提出 “大型高速计算机中的时间共享” 论文。
目的：最初为满足分时系统需求，解决早期 OS 单任务问题。
早期应用: IBM 7044 是最早使用虚拟化技术的计算机之一，后大型机 / 小型机开始使用。

# x86 架构中的虚拟化演进

纯软件『全虚拟化』: 无需硬件或 OS 修改。
『半虚拟化模式』: 需修改客户机 OS 以提高性能。
『硬件虚拟化』: Intel VT/AMD-V 等技术，用硬件代替软件实现虚拟化。

# 虚拟化概念

广义：对计算资源的抽象，不仅仅是虚拟机。
- 例：虚拟内存技术，抽象物理内存，提供连续地址空间给应用，实际数据可分页 / 分段 / 交换到外存。
狭义 (通常指): 通过虚拟化技术将一台计算机虚拟为多台逻辑计算机 (虚拟机)。
- 效果：提高硬件利用率 (一台服务器承载多台服务器负载)，实现用户任务和数据隔离，增强安全性。
- 实现：一台计算机上运行多个逻辑计算机，各自运行不同 OS 和应用，相互独立。

# 虚拟化技术主要分类 (4 大类)

服务器虚拟化:
- 解决服务器利用率低 (<15%)、数量剧增、部署复杂问题。
- 将多操作系统作为 VM 运行在单台物理服务器上。
- 聚合服务器集群为整合资源池，提高效率，降低成本。
软件定义的存储 (SDS):
- 抽象内部磁盘 / 闪存为高性能存储池。
- 以软件形式交付，提高运维效率。
网络虚拟化:
- 以软件形式完整再现物理网络。
- 提供与物理网络相同功能 / 保证，并具备虚拟化运维优势和硬件独立性。
桌面虚拟化:
- 快速向分支机构、外包 / 海外 / 移动员工交付虚拟桌面和应用。
- 快速响应需求变化。

# 虚拟化与云计算

虚拟化技术促进了云计算概念的产生，是其主要支撑技术之一。
核心优势：提高硬件利用率、实现用户任务 / 数据隔离、增强安全性。

# 服务器虚拟化

# 基本概念与架构

定义：使用控制程序 (VMM) 隐藏物理平台特性，提供抽象、统一、模拟的计算环境 (虚拟机)。
客户操作系统 (Guest OS): 运行在虚拟机中的操作系统。
虚拟机监控器 (Virtual Machine Monitor, VMM / Hypervisor): 实现虚拟化的核心层。
主机操作系统 (Host OS): 运行 VMM 的操作系统 (仅限 Type II)。

# Hypervisor 类型

Type I (裸金属架构): VMM/Hypervisor 直接运行在硬件之上。(例: Xen, ACRN)
- 优点：效率高，扩展性、健壮性、性能更好。
Type II (寄居架构 / 托管架构): VMM/Hypervisor 运行在 Host OS 之上，VM 作为 Host OS 的一个进程。(例: KVM, VMware Fusion, VirtualBox, Parallels Desktop)
- 优点：使用方便，与宿主 OS 兼容。桌面用户常用。

# x86 架构对虚拟化的限制 (Ring 特权级)

x86 Ring: Ring 0 (最高权限，OS 内核), Ring 3 (最低权限，用户应用)。
特权指令：只能在 Ring 0 执行，直接访问硬件 / 内存。
系统调用：应用 (Ring 3) -> 内核 (Ring 0) 切换 -> 内核代码执行 -> 返回应用 (Ring 3)。(用户态 / 内核态切换)
虚拟化难题: Host OS/VMM 运行在 Ring 0。Guest OS 被置于非 Ring 0 (如 Ring 1 或 Ring 3) 运行。当 Guest OS 尝试执行特权指令时，因权限不足导致出错 (trap)。

# VMM 实现 Guest OS 访问硬件的三种技术

全虚拟化 (Full Virtualization)
半虚拟化 (Paravirtualization)
硬件辅助虚拟化 (Hardware-Assisted Virtualization)

# 全虚拟化

核心技术 (VMware, 1998): 二进制翻译 (Binary Translation, BT)。

原理:
- VMM 捕获 Guest OS 的特权指令。
- 翻译：将捕获的指令翻译成可在用户态运行的指令序列。
- 缓存：翻译结果缓存，供后续使用。
- 用户级指令直接在 CPU 上运行 (速度接近物理机)。
特点:
- Guest OS 无需任何修改，不知道自己被虚拟化。
- VMM 与物理硬件完全解耦。
- 是唯一无需硬件辅助或 OS 辅助即可虚拟化敏感 / 特权指令的方案。

# 半虚拟化

核心思想：修改 Guest OS 内核，将敏感 / 特权指令替换为对 VMM 的直接调用 (Hypercall)。
Hypercall: 类似于系统调用，由 Guest OS 主动发起，请求 Hypervisor 服务。
优点:
- VMM 与 VM 相互配合，性能优于全虚拟化（早期）。
- 虚拟化代价 / 开销更低。
缺点:
- 需要修改 Guest OS，不支持未修改的 OS (如 Windows)。
- 兼容性、可移植性差。
- 内核深度修改导致生产环境技术支持和维护困难。

# 硬件辅助虚拟化

背景：解决软件虚拟化性能开销。
技术: Intel VT-x (VMX), AMD AMD-V。
核心: CPU 增加新的操作模式。
- 根模式 (Root Mode): VMM/Hypervisor 运行。
- 非根模式 (Non-root Mode): 虚拟机 (Guest OS) 运行。
原理:
- Guest OS 在非根模式下执行。
- 执行敏感 / 特权指令时，CPU 自动触发 VM-Exit，控制权切换到根模式的 VMM。
- VMM 处理指令后，通过 VM-Enter 将控制权交还给 Guest OS。
优点:
- Hypervisor 无需费力识别 / 翻译敏感指令，极大提升虚拟化性能。
- Guest OS 无需修改。

# 虚拟化实现技术比较

特性	全虚拟化 (BT)	半虚拟化 (Hypercall)	硬件辅助虚拟化
Guest OS 修改	无须修改	需要修改	无须修改
兼容性	好	差	好
性能	差 (相对)	好 (早期)	好
CPU 虚拟化	二进制代码翻译	超级调用	新指令 / 新操作模式
内存虚拟化	影子页表 (SPT)	内存管理半虚拟化	嵌套页表 (NPT/EPT) (硬件扩展)
I/O 虚拟化	设备模拟	半虚拟化驱动	设备模型 (直接访问)

# 商用虚拟机技术

名称	发布年份	类型	技术特点
VMware	1999	Type I, Type II	商业产品先驱。支持 Type I (ESX Server) 和 Type II (Workstation)。提供完整虚拟化产品线 (桌面 / 应用 / 服务器)。
Xen	2003	Type I	开源。早期以半虚拟化为主。Linux 3.0 后稳定支持 Dom0/DomU。广泛部署 (硬件 / 车载等)。
KVM/QEMU	2006/2003	Type II	基于 Linux 内核的开源方案。硬件辅助虚拟化为主 (硬件不支持时退回 QEMU 软件模拟)。目前广泛部署。
ACRN	2018	Type I	嵌入式轻量级开源。代码量小 (~25K 行)。注重实时性 / 安全性，面向车载 / 物联网等场景。

# 新型硬件虚拟化

# 背景

GPU, FPGA 等新型硬件普及。
现有虚拟化技术主要面向通用硬件 (x86) 和软件栈 (Linux/Win)，无法高效承载新型硬件。
工业界 / 学术界探索新型硬件虚拟化方案，如 GPU/RDMA 直通独占式虚拟化。
RDMA/FPGA 等虚拟化尚处早期。

# 硬件虚拟化的代表

GPU 虚拟化:
- 性能 / 扩展性 / 可用性相对 CPU 滞后。
- 传统方式: API 转发 (VMM 代理执行)，非完整硬件虚拟化，性能 / 扩展性不足。
- 发展:
  - 2013: AWS 推出商业化 GPU 实例。
  - 2014: 主流 GPU 平台硬件辅助全虚拟化方案出现 (NVIDIA GPUvm, Intel gVirt)。
  - 2017: Intel KVMGT (GPU 全虚拟化方案) 加入 Linux 内核 4.10。
FPGA 虚拟化:
- FPGA 是可重配置计算资源，与现有虚拟化框架不兼容，使用场景趋向独占。
- FPGA 器件与开发生态 (工具链 / 库) 紧密耦合，特定型号需特定软件生成二进制文件。
- 挑战：缺乏统一的二进制接口规范。
RDMA 虚拟化:
- RDMA (远程直接内存访问): 通过 DMA 实现主机间内存直接访问。
- 应用：近年在 HPC 等领域探索 RDMA 硬件虚拟化。
- 实践: Microsoft Azure 尝试推出带 RDMA 网络支持的 VM 租赁服务。
NVM 虚拟化:
- NVM (非易失性内存): 兼具内存高性能 (字节寻址) 和存储持久性。
- 挑战：价格高、容量小、使用方式多变。虚拟化支持并投入云环境仍处研究起步阶段。

# 硬件虚拟化的未来

极端虚拟化:
- 宏观：单机构建巨规模 / 巨型虚拟机 (因新型硬件增强单机能力)。
- 微观：面向智能终端 / 极端受限环境的微型虚拟机 (便捷共享、高效抽象、按需重构、交互移动)。
异构硬件的融合和归一化:
- 基于 “软件定义” 原则，利用虚拟化融合 CPU, GPU, FPGA, RDMA 网卡，NVM, SSD 等异构硬件。
- 实现异构硬件归一化管理，提供统一编程接口。
- 根据应用需求动态选择后台执行硬件。
多硬件和特性的聚合和抽象:
- 现状：虚拟化侧重 “一虚多”(单个物理资源 -> 多个虚拟资源)。
- 未来：利用新型硬件实现 “多虚一”，聚合多硬件 / 多特性，提升性能，突破单硬件物理极限。

# 实践: Xen 虚拟化技术

# Xen 的历史

2003: Ian Pratt (剑桥) 发表论文，提出基于半虚拟化的 Xen 项目。
2005: Xen 3.0 支持 Intel VT/IA64，可运行完全未修改的操作系统。
2007: Citrix 收购 XenSource。
架构: Type I Hypervisor (裸金属)，直接运行在硬件上。
- Hypervisor: 最底层，直接与硬件交互。
- Domain 0 (Dom0): 特权 VM，运行控制工具栈、物理设备驱动。
- Domain U (DomU): 普通客户 VM (Guest OS)。

# Xen 实际操作 (概述)

检查 CPU 是否支持 Xen 虚拟化。
安装 Xen 相关软件包。
创建虚拟机 (使用 virt-manager 或命令行工具)。
- 选择虚拟化方法 (Paravirtualized / Fully virtualized)。
- 配置 VM 名称、内存、CPU、存储、网络等。
- 安装 Guest OS。

# 实践: KVM 虚拟化技术

# KVM 简介

全称: Kernel Virtual Machine，Linux 内核提供的开源 Hypervisor，主流技术。
要求：主机 x86 架构 + 硬件虚拟化支持 (Intel VT / AMD-V)。
架构: Type II Hypervisor (寄居架构)。
依赖：需修改过的 QEMU (qemu-kvm) 作为虚拟机上层控制和界面。
技术：以硬件辅助虚拟化为主。硬件不支持时，退回 QEMU 软件模拟 (动态二进制翻译实现 CPU 虚拟化)。
特点：能在不改变 Linux/Windows 镜像下运行多 VM，可配置个性化硬件环境。支持多种操作系统。

# KVM 的基本安装操作 (概述)

安装 KVM 及其依赖包 (qemu-kvm, libvirt, virt-manager 等)。
启动 libvirtd 服务，启动 Virtual Machine Manager ( virt-manager ) 图形界面。
配置桥接网络接口 (可选，使 VM 直接接入物理网络)。
创建虚拟机:
- 在 virt-manager 中新建 VM。
- 选择安装方式 (本地 ISO / 网络 / 导入磁盘等)。
- 配置 CPU、内存、存储、网络等。
- 安装 Guest OS。

# Docker 简介

# Docker 为什么会出现？ (面临的问题)

环境一致性问题：开发环境 (笔记本)、测试环境、生产环境配置各异，导致 “在我机器上能跑” 但在其他环境跑不起来。
部署复杂性问题：配置应用运行环境需安装多种软件和依赖包 (Java/Tomcat/MySQL/JDBC 等)，过程繁琐、易出错且跨平台 (Win/Linux) 需重配，应用移植麻烦。
交付标准化问题：传统交付物是程序 / 字节码，需附加部署文件和详细环境说明，运维部署易出错。

# Docker 是什么？

基于 Linux 容器技术发展来的轻量级容器虚拟化技术。
核心思想：解决代码在本机能运行，但在其他机器部署运行失败的问题。
实现方式：通过镜像 (Image) 将程序运行所需的环境、系统、配置、数据等自下而上打包，实现应用跨平台无缝运行，打破 “程序即应用” 观念。
目标：提供系统平滑移植的标准化解决方案。

# Docker 理念

核心目标: Build, Ship and Run Any App, Anywhere (构建、发布、运行任意应用在任意地方)。
实现：通过应用组件的封装、分发、部署、运行等生命周期管理，使应用及其运行环境做到 “一次镜像，处处运行”。
效果：实现跨平台、跨服务器部署，只需一次配置环境，一键部署，简化操作。

# Docker 定义总结

互联网行业热门技术，尤其在开发和运维方向，解决规模化、灵活化部署问题。
用于解决运行环境和配置问题，方便做持续集成，有助于整体发布的容器虚拟化技术。

# 容器与虚拟机比较

传统虚拟机技术:
- 带环境安装的解决方案 (如 Win10 里跑 CentOS)。
- 对应用程序透明，模拟完整系统。
- 缺点: 资源占用多 (需完整 OS)、冗余步骤多 (启动 OS)、启动慢 (分钟级)。
容器虚拟化技术 (Docker/LXC):
- 在操作系统层面实现虚拟化，直接复用宿主机操作系统内核。
- 隔离进程而非模拟完整 OS，将软件运行所需资源打包到隔离容器中。
- 优点: 启动速度快 (秒级)，占用体积小 (MB 级 vs GB 级)。

对比总结:
- 虚拟机：虚拟硬件 -> 运行完整 Guest OS -> 运行应用。重。
- 容器：直接运行于宿主内核 -> 隔离应用进程。轻。
- 隔离性：虚拟机 > 容器。

# Docker 能干嘛？

技术职位变化: Coder -> Programmer -> Software Engineer -> DevOps Engineer (体现了开发运维一体化趋势)。
一次构建、随处运行:
- 更快速的应用交付和部署：打包应用及依赖成镜像，简化部署流程，节省配置测试时间。
- 更便捷的升级和扩缩容：微服务架构下，容器如 “积木”，升级 / 扩容只需操作对应容器镜像 (分钟级甚至秒级)。
- 更简单的系统运维：应用容器化后，开发 / 测试 / 生产环境高度一致，减少环境问题，易于定位修复 BUG。
- 更高效的计算资源利用：内核级虚拟化，无 Hypervisor 额外开销，单机可运行更多容器，提升物理资源利用率。
应用场景:
- 借鉴标准集装箱思想，Docker 用于运输软件 (封装应用和依赖)。
- 适用于各种应用场景 (静态网站、用户数据库、Web 前端、消息队列、数据库等)。
- 开发 -> 测试 -> 生产环境迁移，保证环境一致性。
使用企业：微博、美团、蘑菇街等众多互联网公司广泛应用 Docker 进行私有云实践和业务部署。

# Docker 的安装

# 下载与准备

官网: https://www.docker.com
仓库: https://hub.docker.com
前提说明: Docker 依赖 Linux 内核。在 Windows/Mac 上部署 Docker，实质是先安装一个 Linux 虚拟机，然后在虚拟机内运行 Docker。
系统要求: CentOS 7 (64-bit)，Linux 内核版本 >= 3.8。
查看内核: uname -r , cat /etc/redhat-release

# Docker 三要素

镜像 (Image):
- 用于创建 Docker 容器。一个镜像可创建多个容器。
- 本质是一个文件系统 (e.g., centos:7 包含最小化 CentOS 7 系统)。
- 类似 Java 的类 (静态定义)。
容器 (Container):
- 用 Docker 镜像创建的运行实例。
- 类似虚拟化运行环境，应用程序 / 服务运行其中。
- 类似 Java 的 对象实例 (运行时实体)。
- 提供标准隔离环境 (启动 / 停止 / 删除)。
- 看作简易版 Linux 环境 + 运行的应用。
仓库 (Repository):
- 集中存放镜像文件的场所。
- 类似 Maven 仓库 (存 jar) 或 Github 仓库 (存 git 项目)。
- 分公开仓库 (Public) 和私有仓库 (Private)。
- 最大公开仓库: Docker Hub (官方)。国内有阿里云、网易云等。

# Docker 平台架构

Client-Server 结构:
- Docker Client: 用户与 Docker 交互的命令行工具或 UI。
- Docker Daemon (守护进程): 运行在主机上，接收并处理 Client 命令，管理容器。
- 通信: Client 通过 Socket 与 Daemon 通信。
容器: Daemon 管理的运行时环境 (集装箱)。

# Docker 平台架构及通信原理简述

用户使用 Docker Client 与 Docker Daemon 建立通信并发送请求。
Docker Daemon 作为 Server 接收请求。
Docker Engine 执行内部工作，每个工作是一个 Job。
需要镜像时，从 Docker Registry 下载，通过 Graph driver 以 Graph 形式存储。
需创建网络时，通过 Network driver 创建配置容器网络。
需限制资源或执行指令时，通过 Exec driver 完成。
底层通过 Libcontainer (独立容器管理包) 实现对容器的具体操作 (Network/Exec driver 都调用它)。Namespace 实现资源隔离，Cgroups 实现资源控制。

# Docker 安装步骤

# 测试 hello-world

docker run hello-world : 运行测试镜像。
流程：本地无镜像 -> 从 Docker Hub 拉取 -> 运行容器 -> 输出信息 -> 容器退出。

# 底层原理: Docker 为何比 VM 快？

更少的抽象层: Docker 无需 Hypervisor 实现硬件虚拟化，直接使用宿主机硬件。
共享宿主机内核: Docker 容器共享宿主机 OS 内核，无需加载额外 OS 内核。避免了 VM 启动引导、加载 OS 内核等耗时过程。

结果: VM 创建是分钟级，Docker 容器创建是秒级。

# Docker 常用命令

# 帮助启动类

systemctl start/stop/restart/status/enable docker
docker info : 查看 Docker 系统信息。
docker version : 查看 Docker 版本信息。
docker --help : 查看 Docker 帮助。
docker COMMAND --help : 查看具体命令帮助。

# 镜像命令

docker images / -a / -q / --digests / --no-trunc : 列出本地镜像 (所有 / 仅 ID / 摘要 / 完整信息)。
docker search <image_name> : 在 Docker Hub 搜索镜像。
docker pull <image_name>[:TAG] : 下载镜像 (默认 latest)。
docker rmi <image_name_or_id> / -f : 删除未使用镜像 (强制删除)。可删除多个。
docker system df : 查看 Docker 资源占用 (镜像 / 容器 / 数据卷)。
虚悬镜像 (Dangling Image): 仓库名和 TAG 均为 <none> 的镜像。

# 容器命令

docker run [options] IMAGE [command] [arg...] : 新建并启动容器。
- -i : 交互模式。
- -t : 分配伪终端。
- -d : 后台运行 (守护式容器)。
docker ps / -a / -q : 列出正在运行的容器 (所有 / 仅 ID)。
exit : 退出并停止容器 (交互式)。
Ctrl+P+Q : 退出容器但不停止 (交互式)。
docker start/restart/stop/kill <container_name_or_id> : 启动 / 重启 / 停止 / 强制停止容器。
docker rm <container_name_or_id> / -f : 删除已停止的容器 (强制删除运行中容器)。
docker logs [options] <container_name_or_id> : 查看容器日志 ( -t 时间戳， -f 跟随， --tail N 最后 N 条)。
docker top <container_name_or_id> : 查看容器内运行的进程。
docker inspect <container_name_or_id> : 查看容器内部细节 (JSON 格式)。
docker exec -it <container_id> /bin/bash : 进入正在运行的容器并执行命令 (exit 不停止容器)。
docker attach <container_id> : 重新附加到容器终端 (exit 会停止容器)。
docker cp <container_id:src_path> <host_dest_path> : 从容器内拷贝文件到宿主机。

# Docker 镜像

# 镜像是什什么？

轻量级、可执行的独立软件包。
包含运行应用所需的一切：代码、运行时、库、环境变量、配置文件。
用于生成 Docker 容器实例。

# 分层的镜像

docker pull 过程显示镜像是一层一层下载的。

# 联合文件系统 (UnionFS)

Docker 镜像由一层层文件系统组成，这种层级文件系统即 UnionFS。
特性：分层、轻量级、高性能。支持将文件系统修改作为一次提交层层叠加。可将不同目录挂载到同一虚拟文件系统下，对外透明。
基础: UnionFS 是 Docker 镜像的基础。镜像通过分层继承，基于基础镜像 (无父镜像) 制作应用镜像。

# Docker 镜像加载原理

bootfs (boot file system): 包含 bootloader 和 kernel。Linux 启动时加载，完成后内核接管内存，bootfs 被卸载。各发行版一致，可共享。
rootfs (root file system): 位于 bootfs 之上，包含 /dev , /proc , /bin , /etc 等标准目录和文件。代表不同操作系统发行版 (Ubuntu, CentOS)。不同发行版有差别。
精简 OS 的 rootfs 可以很小，只需基本命令 / 工具 / 库。

# Docker 镜像采用分层结构的好处

镜像特点: Docker 镜像是只读的。容器启动时，在镜像顶部加载一个可写层 (容器层)。
分层优点:
- 共享资源：多个镜像若基于相同 Base 镜像构建，Host 只需存一份 Base 镜像。内存中也只需加载一份 Base 镜像，供所有容器共享。
- 方便复制迁移与复用。

# Docker 镜像 - commit 操作

docker commit -m "message" -a "author" <container_id> <target_image_name>[:TAG]
将容器的当前状态 (包括其可写层的修改) 提交，生成一个新的镜像。

# 总结

Docker 镜像分层，支持通过扩展现有镜像创建新镜像 (类似 Java 继承)。
新镜像是从 Base 镜像一层层叠加生成。每次安装软件，都在现有镜像基础上增加一层。

# 容器数据卷 (Volume)

# 是什么？

用于持久化容器数据，解决容器删除后数据丢失问题。
是宿主机上的一个目录或文件，通过 Docker 挂载到容器中。
独立于联合文件系统 (UFS)，生命周期独立于容器。

# 容器内添加数据卷

docker run -it -v /host_absolute_path:/container_path[:ro] <image_name>
将宿主机目录与容器内目录绑定。两者内容实时同步。
:ro 表示只读挂载 (容器内不可写)。

# 容器数据卷的特点

可在容器间共享或重用。
容器与宿主机间数据共享，修改即时生效。
数据卷的更改不包含在镜像更新中 (commit 不会打包数据卷内容)。
数据卷生命周期持续到没有容器使用它为止 (容器删除，数据卷不会被删除)。

# 数据卷的继承和共享

docker run -it --volumes-from <source_container_name> --name <new_container_name> <image_name>
新容器 ( u2 ) 可以继承另一个容器 ( u1 ) 挂载的数据卷。

# Dockerfile 解析

# 是什么？

用来构建 Docker 镜像的文本文件。
包含一系列命令和参数构成的脚本。
内容定义了镜像构建过程：执行代码、设置环境变量、安装依赖包、指定运行时环境、操作系统发行版等。
Docker 通过读取 Dockerfile 指令自动构建镜像。

# Dockerfile, 镜像，容器的关系 (类比)

Dockerfile: 软件原材料 (中药处方)。 面向开发。
Docker 镜像：软件交付品 (抓好的中药)。成为交付标准。
Docker 容器：软件镜像的运行态 (熬出的中药汤)。涉及部署与运维。

# Dockerfile 构建过程解析

基础知识:
1. 每条保留字指令必须为大写字母且后跟至少一个参数。
2. 指令按从上到下顺序执行。
3. # 表示注释。
4. 每条指令都会创建一个新的镜像层并对镜像进行提交。
大致流程:
1. Docker 从基础镜像运行一个容器。
2. 执行一条指令，对容器作出修改。
3. 执行类似 docker commit 的操作，提交一个新的镜像层。
4. Docker 再基于刚提交的镜像运行一个新容器。
5. 重复 2-4 步，直到所有指令执行完毕。

# Dockerfile 常用保留字指令

FROM: 指定基础镜像。
MAINTAINER: 镜像维护者姓名和邮箱 (已废弃，推荐用 LABEL)。
WORKDIR: 指定容器工作目录 (后续 RUN/CMD/ENTRYPOINT/COPY/ADD 指令在此目录下执行)。
ENV: 设置环境变量。
VOLUME: 定义匿名数据卷，用于数据保存和持久化。
EXPOSE: 声明容器运行时对外暴露的端口 (仅声明，实际端口映射在 docker run -p 指定)。
ADD: 复制文件 / 目录到镜像。支持 URL，且自动解压 tar 压缩包。
COPY: 类似 ADD，复制文件 / 目录到镜像。不支持 URL 和自动解压。
RUN: 在镜像构建时执行命令 (e.g., 安装软件)。
CMD: 指定容器启动时默认执行的命令。Dockerfile 可有多个 CMD，只有最后一个生效。会被 docker run 后面的命令覆盖。
ENTRYPOINT: 指定容器启动时执行的命令。不会被 docker run 后面的命令覆盖，参数会传递给 ENTRYPOINT 指定的程序。

# RUN, CMD, ENTRYPOINT 对比

RUN: 构建时执行。
CMD: 容器启动时执行 (默认命令，可被覆盖)。
ENTRYPOINT: 容器启动时执行 (入口点，不可被覆盖，参数追加)。
Note: RUN 在构建时运行并提交到镜像；CMD 在构建时不执行，在容器启动时执行，指定默认命令。

# 案例：自定义镜像 centosjava8:1.0

需求：基于 CentOS 7，安装 vim, ifconfig, JDK 8。
步骤:
1. 准备基础环境 (CentOS 7 镜像，JDK tar 包)。
2. 编写 Dockerfile (使用 FROM, MAINTAINER, ENV, WORKDIR, RUN, ADD, CMD 指令)。
3. 构建镜像: docker build -t <image_name>:<tag> . (注意最后的点表示 Dockerfile 路径)。
4. 运行容器: docker run -it <image_name>:<tag> 。
5. 验证 (检查 java -version, ifconfig)。

# 虚悬镜像 (Dangling Image)

# 是什么？

镜像列表中，仓库名 (REPOSITORY) 和标签 (TAG) 都显示为 <none> 的镜像。
通常是由于构建了新镜像，覆盖了旧镜像的 TAG 导致旧镜像失去引用名。

# 查看

docker image ls -f dangling=true

# 删除

docker image prune : 删除所有虚悬镜像。

软件工程复习

2024-12-30T06:00:47.000Z

# 判定表

条件	条件 1	条件取值的组合
条件 2
...
条件 n
动作	动作 1	动作
动作 2
...
动作 n

# 判定树

# SA 画 DFD

# DFD 步骤

从顶层 DFD 开始，把整个系统视为加工处理。
自上而下，逐步对系统分解：
- 每分解一次，增加系统的加工元素，进一步具体化每个加工的功能。
重复第 2 步，直到所有的加工元素都是足够简单，功能足够单一，视不必再分解为止。
- 不再分解的加工 ——“基本加工”

# DFD 原则

父 / 子图平衡（I/O）
- 如果一张数据流图中的某个加工分解成另一张数据流图时，则上层图为父图，直接下层图为子图。把一个处理分解为一系列处理时，分解前和分解后的输入 / 输出数据流必须相同。
区分流程先后和层次。
每个子图应该对应唯一的父加工。
区分全局文件和外部项。
画数据流而不是控制流。
- 数据流反映系统 “做什么”，不反映 “如何做”，因此箭头上的数据流名称只能是名词或名词短语。
一般不画物质流。
- 数据流反映能用计算机处理的数据，并不是实物。
每个加工至少有一个输入数据流和一个输出数据流，反映出此加工数据的来源与加工的结果。
加工框编号。
- 子图及其所有的加工都应编号，便于引用和追踪。
掌握分解的速度。
- 一般一次引入 2~7 个加工处理。
外部实体之间不能有数据流。

# UML

# UML 用例图

# 用例图元素

Actor：参与者
Use Case：用例
Communication Association：通信关联

Use Case 说明系统需要提供什么而不是怎么提供
用户并不关心你如何给他们提供所需要的功能
Use Case 一般是用 “动宾” 短语命名

# 用例图角色

与系统发生交互作用的、系统之外的任何东西都是角色：

可以是人
也可以是机器
角色不等同于使用者
角色存在于系统外部
角色不是活动的准确描述
使用者是行使某个角色职责的系统的使用人员
每个 Actor 都通过不同的方式使用系统，除非他们是相同的 Actor
Actor 使用系统的每一种方式就是一个 Use Case

# 用例图步骤

找出拟建系统以外的 Actor
- 与系统交互的人员
- 与系统相连并交换信息的设备和其他系统
使用 Use Case 来描述 Actor 怎样使用系统以及系统向 Actor 提供什么功能
- Use Case 表示从外部用户角度观察的系统功能
绘制 Use Case 图，并编写详细的 Use Case 描述
- Use Case 图只能宏观地描述系统的功能
- 每个功能的含义和具体实现步骤则以文本方式描述

# 用例图关联

# Include

Use Case 中的包含关系。
通常发生在多个 Use Case 中，有可以提取出来的公共部分。

如果用例 A 确实要调用到用例 B，那么，可以进一步分析：

用例 A 是调用了用例 B 的所有流程呢，还是其中部分流程？

如果是调用部分流程，此时可以把用例 B 中的那部分流程提取出来，形成用例 C，然后用例 A 和用例 B 都 include 用例 C。
如果是调用所有流程，那么，用例 A 直接 include 用例 B 即可。

# Extend

UseCaseA 不知道 UseCaseB 和 UseCaseC 的存在
UseCaseB 和 UseCaseC 却是知道 UseCaseA 并且知道如何在 UseCaseA 中作扩展的

# 泛化关系

当多个用例共同拥有一种类似的结构和行为的时候，将它们的共性抽象成为父用例，其他的用例作为泛化关系中的子用例。
子用例继承了父用例所有的结构、行为和关系。
在实际应用中很少使用泛化关系。

# 用例图规则

主动角色画在图的左边
被动角色画在图的右边
每个 Use Case 必须为用户提供确切的功能
Use Case 名称必须写在椭圆里面
每一张图里不能有太多的 Use Case
为每一个 Use Case 编号便于检索
为 Use Case 建立目录（编号和名称）便于管理
保持图面整洁

# 发现对象

# 实体类

代表拟建系统要记录和维护的信息，同时描述其相关行为。需要长期保存。

# 边界类

拟建系统和外部元素之间交互的边界，一个 Actor 和 Use Case 之间的通信关联对应一个边界类

用户界面；
与外部系统的接口；
与其他设备的接口；

# 控制类

将 Use Case 所有的执行逻辑进行封装，相当于协调人。

自己不处理具体的任务。
知道哪些类有能力完成具体的任务

作用：
将拟建系统的其他部分（实体类和边界类）与 Use Case 的具体执行逻辑形成松散耦合。

获取方法：一个 Use Case 对应一个控制类。

# 类图

接口：一组操作的集合，只有操作的声明而没有实现
抽象类：不能被实例化的类，一般至少包含一个抽象操作
模版类：一种参数化的类，在编译时把模版参数绑定到不同的数据类型，从而产生不同的类

# 对象之间关系

# 关联

一个类的对象（实例）作为另一个类的对象的变量成员时，两个类之间有关联关系

# 聚合

表示两个类的对象间有 “整体” 与 “部分” 的关系。

# 组合关系

“整体” 与 “部分” 间有 “皮之不存，毛将焉附” 的语义。

“部分” 不能被 “整体” 共享。

# 依赖关系

表示 “使用” 的语义，是一种比较弱的关系。
对象作为参数、全局变量或者局部变量被另外一个对象使用
友元依赖：授权一个对象访问对象的私有或者保护成员

# 泛化关系

类 A（特殊）到类 B（一般）的泛化关系表示 “类 A 是类 B 的一种”。

类 A—— 子类
类 B—— 父类

泛化关系有助于代码共享和复用。

共同的属性放在上层，而将特有的属性放在下层；
共同的服务放在上层，而将特有的服务放在下层

泛化关系 vs. 继承

泛化关系是一种关系的名称。
继承是一种实现泛化关系的机制。

# 实现关系

描述类实现接口

# 构件图

构件图描述代码部件的物理结构及各部件之间的依赖关系。

是比 “类” 更大的实体，例如一个 COM 组件、ActiveX 文件、一个 JavaBeans、进程内组件（.DLL）、进程外组件（.EXE）、C++ 中的头文件（.h）、实现文件（.cpp）等等。
它包含逻辑类或实现类的有关信息。
构件图有助于分析和理解部件之间的相互影响程度。

事务名称	含义	图例
构件	指系统中可替换的物理部分
接口	外部可访问到的服务
构件实例	节点实例上的构件的一个实例，冒号后是该构件实例的名字

构件图中的关系及解释

依赖关系：构件依赖外部提供的服务 (由构件到接口), 用虚线表示
实现关系：构件实现接口 (由构件到接口), 用实线表示

# 部署图

节点是在运行时存在的物理元素，它表示一个计算机资源，通常至少有一些记忆能力和处理能力。
一组构件可以驻留在一个节点内，也可以从一个节点迁移到另一个节点。
在图形上，把节点画成一个立方体，通常在立方体中只写它的名称。

# 顺序图

# 顺序图的组成

# 顺序图的消息

消息包含 3 个部分：

序号
名称
参数

消息的 4 种类型：

同步消息：消息的发送者把控制传递给消息的接收者，然后停止活动，等待消息的接收者放弃或者返回控制。
异步消息：消息发送者通过消息把信号传递给消息的接收者，然后继续自己的活动，不等待接收者返回消息或者控制。异步消息的接收者和发送者是并发工作的。
返回消息：返回消息表示从过程调用返回。
自关联消息：表示方法的自身调用以及一个对象内的一个方法调用另一个方法。

# 协作图

与相关的顺序图有明确的对应关系。

# 状态图

状态图用来建模系统中的某个类对象、子系统或整个系统在其生命周期内出现的状态、状态的迁移和迁移条件。
一个对象在某个时刻所处的状态是由该对象的属性值所决定的。
对象由一种状态迁移到另一种状态，通常是由于受到了外部的刺激或自身性质的改变所引起的。导致对象状态变迁的原因即迁移条件。

# 状态图符号

用导角矩形表示对象所处的状态
开始状态：必须有
终止状态：可选的，也可以没有
带箭头的直线表示状态迁移的方向，其状态迁移的条件写在直线的上方或下方

# 活动图

活动图用于描述 Use Case 的事件流结构；属于一个特定的 Use Case。
活动之间带箭头的直线表示从一个活动到另一个活动的转移，可在直线上标注活动转移的条件

用圆角矩形表示活动
用黑色实心圆和 “牛眼” 分别表示活动的开始和终止
活动之间带箭头的直线表示从一个活动到另一个活动的转移，可在直线上标注活动转移的条件
泳道不仅表示出活动的变化，而且也描述了完成各个活动的类。

# 结构图 SC

传入模块：从下层模块取得数据，经过某些处理，再将其结果传递给上级模块。
传出模块：从上级模块获得数据，进行某些处理，再将其结果传送给下级模块。
变换模块：从上级模块获得数据，进行特定处理，转换成其它形式，再将其结果传送给上级模块。
源模块：不调用其它模块的传入模块。
漏模块：不调用其它模块的传出模块。
协调模块：对下属模块进行控制和管理的模块。

附加符号：

选择调用：
循环调用：

# 结构化设计 SD

# 变换映射

识别输入边界、输出边界和变换中心三部分。
- 逻辑输入：离物理输入端（输入始端）最远，但仍可作为输入的数据流。
- 逻辑输出：离物理输出端（输出始端）最远，但仍可作为输出的数据流。
进行第一级分解（映射顶层和第一层）

设计主控模块和第一层软件结构：
1. 输入模块 ca
  - 功能：为主控模块提供数据。
2. 输出模块 ce
  - 功能：为主控模块提供数据的输出。
3. 变换模块 ct
  - 功能：将逻辑输入转换为逻辑输出。
完成 “第二级和下层的映射”
- 任务：将 DFD 中的每一个处理映射到程序结构中的模块。
- 方法：从变换中心的边界开始，沿输入路径和输出路径向外，将处理依次映射到从属层的软件结构。
优化软件设计

# 事务映射

识别事务输入、通路和事务中心三部分。
进行第一级分解（映射顶层和第一层）

设计事务控制模块和第一层软件结构：
1. 输入模块
  - 功能：为主控模块提供数据。
2. 调度模块
  - 功能：根据输入的要求调度相应的执行通路。
进行第二级分解：设计中下层模块
- 方法：对通路再进行识别、划分、映射，反复此过程直到全部映射完毕。
优化软件设计

# N-S 图

N-S 图也叫做盒图。五种基本控制结构由五种图形构件表示。

# 问题分析图 (PAD)

扩充控制结构：

# 白盒测试

# 逻辑覆盖法

# 语句覆盖

将程序中每个语句至少执行一次

# 判定覆盖

每个判定的每个分支路径至少要执行一次。

# 条件覆盖

每个条件的真假两种情况至少执行一次。

条件覆盖不一定符合判定覆盖。

# 判定 / 条件覆盖

每个条件的真假两种情况至少执行一次。
每个判定的每个分支路径至少要执行一次。

# 条件组合覆盖

每个判定的所有条件的各种可能组合至少执行一次。

# 路径覆盖法

# 点覆盖

＝语句覆盖
每个结点至少执行一次。

# 边覆盖

＝判定覆盖
每条边至少执行一次。

# 路径覆盖

每个可能的路径至少执行一次。

# 黑盒测试

# 等价分类法

将所有可能的输入数据划分成若干个等价类，然后从每一类中选取少数有代表性的数据作为测试用例。

步骤：
1. 划分等价类（有效等价类、无效等价类）
2. 设计测试用例
设计测试用例原则：
- 有效等价类尽量选取公用测试用例，以减少测试次数。
- 无效的每类一例，以防漏掉错误。
选取测试用例
1. 为每一个等价类规定一个唯一编号。
2. 设计一个新的测试用例，使其尽可能多地覆盖尚未被覆盖的有效等价类，重复这一步，直到所有的有效等价类都被覆盖为止。
3. 设计一个新的测试用例，使其仅覆盖一个尚未被覆盖的无效等价类，重复这一步，直到所有的无效等价类都被覆盖为止。
等价类划分的方法：
1. 规定了输入条件取值范围、取值的个数，则可以确立一个有效等价类和两个无效等价类。
2. 输入条件规定了输入条件输入值的集合，可确立一个有效等价类和一个无效等价类。
  - 有效等价类 —— 集合内
  - 无效等价类 —— 集合外
3. 如果输入条件是一个布尔量，则可以确定一个有效等价类和一个无效等价类。
4. 如果规定了输入数据的一组值，而且程序要对每个输入值分别进行处理：
  - 每一个输入值 —— 一个有效等价类
  - 所有不允许的输入值的集合 —— 一个无效等价类
5. 如果规定了输入数据必须遵守的规则，则可以确立一个有效等价类（符合规则）和若干个无效等价类（从不同角度违反规则）。

# 边界值分析法

对等价分类法的补充：

针对各种边界情况设计测试用例。
大量的错误是发生在输入 / 输出范围的边界上，而不是在输入范围的内部。

步骤：

首先应确定边界情况。
选取正好等于、刚刚大于、刚刚小于边界的值作为测试数据。

# 错误推测法

人们也可以靠经验和直觉推测程序中可能存在的各种错误，从而有针对性地编写检查这些错误的测试用例 —— 错误推测法。

计算机图形学

2024-11-12T00:00:46.000Z

# 基本光栅图形的生成

# 直线的生成算法

画一条从 $(x_1, y_1)$ 到 $(x_2, y_2)$ 的直线。实质上是一个发现最佳逼近直线的像素序列，并填入色彩数据的过程。这一过程称为直线的光栅化。

# DDA 算法

DDA（Digital Differential Analyzer）算法是一种基本的直线生成算法。它的基本思想是：直线的起点坐标为 $P_1(x_1, y_1)$ ，终点坐标为 $P_2(x_2, y_2)$ ， $x$ 和 $y$ 的增量分别为 $\Delta x = x_2-x_1$ 和 $\Delta y= y_2-y_1$ ，则直线的斜率为 $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ 。

当 $\Delta x > \Delta y$ 时，以 $x$ 为基准，每次递增 $1$ ，即 $x_{k+1} = x_k + 1$ ，计算出 $y$ 的增量 $\Delta y = m$ ，则 $y_{k+1} = y_k + m$ 。
当 $\Delta x \leq \Delta y$ 时，以 $y$ 为基准，每次递增 $1$ ，即 $y_{k+1} = y_k + 1$ ，计算出 $x$ 的增量 $\Delta x = \frac{1}{m}$ ，则 $x_{k+1} = x_k + \frac{1}{m}$ 。

当 $|\Delta x| > |\Delta y|$ 时， $x$ 的增量为 $1$ ， $y$ 的增量为 $m$ ；
当 $|\Delta x| \leq |\Delta y|$ 时， $x$ 的增量为 $\frac{1}{m}$ ， $y$ 的增量为 $1$ 。
增量的符号由 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 的符号决定。

	void DDA(int x1, int y1, int x2, int y2) {
	int dx = x2 - x1, dy = y2 - y1;
	int steps = abs(dx) > abs(dy) ? abs(dx) : abs(dy);
	float xIncrement = dx / (float)steps;
	float yIncrement = dy / (float)steps;
	float x = x1, y = y1;
	for (int i = 0; i <= steps; i++) {
	putPixel(round(x), round(y));
	x += xIncrement;
	y += yIncrement;
	}
	}

# Bresenham 算法

设直线从起点 $(x_1, y_1)$ 到终点 $(x_2, y_2)$ ，直线方程为 $y = mx + b$ ，其中 $m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ ， $b = y_1 - mx_1$ 。

# Bresenham 算法计算公式

$\begin{align*} y &= m(x_i + 1) + b \quad & (1) \\ d_1 &= y - y_i \quad &(2) \\ d_2 &= y_{i+1} - y \quad &(3) \end{align*}$

如果 $d_1 - d_2 > 0$ ，则 $y_{i+1} = y_{i+1}$ ，否则 $y_{i+1} = y_i$ 。

将式 (1)、(2)、(3) 代入 $d_1 - d_2$ ，再用 $\Delta x$ 乘等式两边，并以 $P_i = (d_1 - d_2) \Delta x$ 代入上述等式，得

$P_i = 2x_i dy - 2y_i dx + 2dy + (2b - 1) dx \quad (4)$

$d_1 - d_2$ 是用以判断符号的误差。由于在第一象限， $\Delta x$ 总大于 0，所以 $P_i$ 仍旧可以用作判断符号的误差。 $P_{i+1}$ 为

$P_{i+1} = P_i + 2dy - 2(y_{i+1} - y_i) dx \quad (5)$

求误差的初值 $P_1$ ，可将 $x_1$ 、 $y_1$ 和 $b$ 代入式 (2.4) 中的 $x_i$ 、 $y_i$ 而得到

$P_1 = 2dy - dx$

# 第 1a 象限内的直线 Bresenham 算法思想：

画点 $(x_1, y_1)$ ， $dx = x_2 - x_1$ ， $dy = y_2 - y_1$ ，计算误差初值 $P_1 = 2dy - dx, \quad i = 1;$
求直线的下一点位置 $x_{i+1} = x_i + 1$ ，如果 $P_i > 0$ ，则 $y_{i+1} = y_i + 1$ ，否则 $y_{i+1} = y_i$ ；
画点 $(x_{i+1}, y_{i+1})$ ；
求下一个误差 $P_{i+1}$ ，如果 $P_i > 0$ ，则 $P_{i+1} = P_i + 2dy - 2dx$ ，否则 $P_{i+1} = P_i + 2dy$
$i = i + 1$ ；如果 $i < dx + 1$ 则转步骤 2；否则结束操作。

# Bresenham 算法的优点：

不必计算直线的斜率，因此不做除法。
不用浮点数，只用整数。
只做整数加减运算和乘 2 运算，而乘 2 运算可以用移位操作实现。Bresenham 算法的运算速度很快，并适于用硬件实现。

注意：以上讨论的是 $0 < \Delta y < \Delta x$ 的情况，对于适用所有 8 个方向的直线的生成算法，则要考虑以判断条件 $|dx| > |dy|$ 为分支，并分别将 2a、3a 象限的直线和 3b、4b 象限的直线变换到 1a、4a 和 2b、1b 象限方向去，以实现程序处理的简洁。

# 圆的生成算法

# 基础知识

给出圆心 $(x_c, y_c)$ 和半径 $r$ ，则圆上任意一点 $(x, y)$ 满足

$(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = r^2$

由上式导出：

$y = \pm \sqrt{r^2 - (x - x_c)^2} + y_c$

也可以使用极坐标方程来表示圆：

$x = x_c + r \cos \theta, \quad y = y_c + r \sin \theta$

利用圆周坐标的对称性，此算法还可以简化。将圆周分为 8个象限，只要将第 1a 象限中的圆周光栅点求出，其余 7部分圆周就可以通过对称法则计算出来。

# 圆的 Bresenham 算法

设圆的半径为 $r$ 。考虑圆心在 $(0, 0)$ ，并从 $x=0$ 、 $y=r$ 开始的顺时针方向的 $1/8$ 圆周的生成过程。在这种情况下， $x$ 每步增加 $1$ ，从 $x=0$ 开始，到 $x=y$ 结束。

即: $x_{i+1} = x_i + 1$

相应的 $y_{i+1}$ 则在两种可能中选择：

$y_{i+1} = y_i \quad \text{or} \quad y_{i+1} = y_i - 1$

# 圆的 Bresenham 计算公式

计算式为

$\begin{align*} y^2 &= r^2 - (x_{i+1})^2 \\ d_1 &= y_i^2 + (x_{i+1})^2 - r^2 \\ d_2 &= r^2 - ((x_{i+1})^2 + (y_i - 1)^2) \end{align*}$

令 $p_i = d_1 - d_2$ ，并代入 $d_1$ 、 $d_2$ ，则有

$p_i = 2(x_{i+1})^2 + y_i^2 + (y_i - 1)^2 - 2r^2 \quad (6)$

$p_i$ 称为误差。如果 $p_i < 0$ 则 $y_{i+1} = y_i$ ，否则 $y_{i+1} = y_i - 1$ 。

$p_i$ 的递归式为

$p_{i+1} = p_i + 4x_i + 6 + 2(y_i^2 + 1 - y_i^2) - 2(y_{i+1} - y_i) \quad (7)$

$p_i$ 的初值由式 (6) 代入 $x_i = 0$ ， $y_i = r$ 而得

$p_1 = 3 - 2r \quad (8)$

# Bresenham 圆周生成算法思想

求误差初值， $p_1 = 3 - 2r$ ， $i = 1$ ，画点 $(0, r)$ ；
求下一个光栅位置，其中 $x_{i+1} = x_i + 1$ ，如果 $p_i < 0$ 则 $y_{i+1} = y_i$ ，否则 $y_{i+1} = y_i - 1$ ；
画点 $(x_{i+1}, y_{i+1})$ ；
计算下一个误差，如果 $p_i < 0$ 则 $p_{i+1} = p_i + 4x_i + 6$ ，否则 $p_{i+1} = p_i + 4(x_i - y_i) + 10$ ；
$i = i + 1$ ，如果 $x = y$ 则结束，否则返回步骤 2。

	void BresenhamCircle(int r, int xc, int yc) {
	int x = 0, y = r;
	int p = 3 - 2 * r;
	while (x < y) {
	plotCirclePoints(x, y, xc, yc);
	if (p < 0) {
	p += 4 * x + 6;
	} else {
	p += 4 * (x - y) + 10;
	y--;
	}
	x++;
	}
	if (x == y) {
	plotCirclePoints(x, y, xc, yc);
	}
	}

	void plotCirclePoints(int x, int y, int xc, int yc) {
	putPixel(xc + x, yc + y);
	putPixel(xc - x, yc + y);
	putPixel(xc + x, yc - y);
	putPixel(xc - x, yc - y);
	putPixel(xc + y, yc + x);
	putPixel(xc - y, yc + x);
	putPixel(xc + y, yc - x);
	putPixel(xc - y, yc - x);
	}

# 圆的中点画圆法

定义圆函数

$f(x, y) = x^2 + y^2 - r^2$

$\begin{cases} f(x, y) > 0, & \text{点在圆外} \\ f(x, y) = 0, & \text{点在圆上} \\ f(x, y) < 0, & \text{点在圆内} \end{cases}$

# 圆的中点画圆法计算公式

$p_k = f(x_{k+1}, y_k - \frac{1}{2}) = (x_{k+1})^2 + (y_k - \frac{1}{2})^2 - r^2$

若 $p_k < 0$ ，则 $y_{k+1} = y_k$ ，否则 $y_{k+1} = y_k - 1$ 。

$p_{k+1} = \begin{cases} p_k + 2(x_{k} + 1) + 1, & p_k < 0 \\ p_k + 2(x_{k} + 1) + 1 - 2(y_{k} - 1), & p_k \geq 0 \end{cases}$

# 圆的中点画圆法思想

输入圆半径 $r$ ；
求误差初值， $p_0 = \frac{5}{4} - r$ ，画点 $(0, r)$ ；
求下一个光栅位置，其中 $x_{i+1} = x_i + 1$ ，如果 $p_i < 0$ 则 $y_{i+1} = y_i$ ，否则 $y_{i+1} = y_i - 1$ ；
画点 $(x_{i+1}, y_{i+1})$ ；
计算下一个误差，如果 $p_i < 0$ 则 $p_{i+1} = p_i + 2x_{i+1} + 1$ ，否则 $p_{i+1} = p_i + 2(x_{i + 1} - y_{i + 1})+1$ ；
确定其他七个八分圆中的对称点；
$i = i + 1$ ，如果 $x = y$ 则结束，否则返回步骤 3。

# 区域填充算法

# 区域填充基础知识

区域填充即给出一个区域的边界，要求对边界范围内的所有像素单元赋予指定的颜色代码。区域填充中最常用的是多边形填色。

计算机图形学中，多边形区域有两种重要的表示方法：顶点表示和点阵表示。
所谓顶点表示，即是用多边形的顶点序列来表示多边形。这种表示直观、几何意义强、占内存少，易于进行几何变换，但由于它没有明确指出哪些像素在多边形内，故不能直接用于区域填充。
所谓点阵表示，则是用位于多边形内的像素集合来刻画多边形。这种表示丢失了许多几何信息，但便于进行填充。

根据区域的定义，可以采用不同的填充算法，其中最具代表性的是：适应于顶点表示的扫描线类算法和适应于点阵表示的种子填充类算法。

# 扫描线填色算法

算法的基本思想:

多边形以 n 、 x_array 、 y_array 的形式给出，其中， x_array 、 y_array 中存放着多边形的 n 个顶点的 x，y 坐标。

用水平扫描线从上到下扫描由点线段构成的多段定义成的多边形。每根扫描线与多边形各边产生一系列交点。这些交点按照 x 坐标进行分类，将分类后的交点成对取出，作为两个端点，以所需要填的色彩画水平直线。多边形被扫描完毕后，填色也就完成。

对于一条扫描线，多边形的填充过程可以分为四个步骤：

求交：计算扫描线与多边形各边的交点；
排序：把所有交点按 x 值递增顺序排序；
配对：第一个与第二个，第三个与第四个等等；每对交点代表扫描线与多边形的一个相交区间；
填色：把相交区间内的像素置成多边形颜色，把相交区间外的像素置成背景色。

# 需要解决或改进的几个问题

# 左、右顶点处理

当以 1，2，3 的次序画多边形外框时，多边形的左顶点和右顶点如右图中所示的顶点 2。它们具有以下性质：

左顶点 $2$ ： $y_1 < y_2 < y_3$
右顶点 $2$ ： $y_1 > y_2 > y_3$

其中 $y_1, y_2, y_3$ 是 3 个相邻的顶点的 $y$ 坐标。

当扫描线与多边形的每个顶点相交时，会同时产生 2 个交点。这时，填色就会因扫描交点的奇偶计数出错而出现错误。因此，对所有左、右顶点作如下处理：

$\begin{align*} y_1 &= mx_1 + b \\ y_2 &= mx_2 + b \implies b = y_2 - mx_2 \\ y_2 - 1 &= mx + b \implies x = x_2 - \frac{1}{m} \\ m &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \end{align*}$

对于左顶点，入边端点 $(x_1, y_1)$ 、 $(x_2, y_2)$ 修改为 $(x_1, y_1)$ 、 $(x_2 - \frac{1}{m}, y_2 - 1)$ ；

对于右顶点，入边端点 $(x_1, y_1)$ 、 $(x_2, y_2)$ 修改为 $(x_1, y_1)$ 、 $(x_2 - \frac{1}{m}, y_2 + 1)$ ；

其中， $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ ，即入边的斜率。

对于多边形的上顶点 $(y_2 > y_1, y_2 > y_3)$ 或下顶点 $(y_2 < y_1, y_2 < y_3)$ ，奇偶计数保持正确。

# 水平边处理

水平边 ( $y1=y2$ ) 与水平扫描线重合无法求交点。因此，将

水平边画出后删去，不参加求交点及求交点以后的操作。

# 扫描线与边的求交点

采用递归算法，以 $(x_1, y_1)$ 、 $(x_2, y_2)$ 为端点的边与第 $i+1$ 条扫描线的交点为

$\begin{cases} y_{i+1} = y_i - 1 \\ x_{i+1} = x_i + \frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1} \end{cases}$

# 减少求交计算量

采用活性边表。
对于一根扫描线而言，与之相交的边只占多边形全部边的一部分，每根扫描线与多边形所有边求交的操作是一种浪费，需要加以改进。

活性边表 (Active List of Side) 的采用将多边形的边分成两个子集：与当前扫描线相交的边的集合，以及与当前扫描线不相交的边的集合。对后者不必进行求交运算，这样就提高了算法的效率。

为了方便活性边表的建立与更新，可为每一条扫描线建立一个新边表 (NET)，存放在该扫描线第一次出现的边。也就是说，若某边的较低端点为 $y_{min}$ ，则该边就放在扫描线 $y_{min}$ 的新边表中，下图是新边表的示意图。

# 种子填充算法

种子填色又称边界填色 (Boundary Filling)。它的功能是，给出多边形光栅化后的边界位置及边界色代码 boundary_color ，以及多边形内的一点 (x, y) 位置，要求将颜色 fill_color 填满多边形。

# 区域连通性

# 4 连通：

从区域内任意一点出发，可通过上、下、左、右四个方向到达区域内的任意象素；

# 8 连通

从区域内任意一点出发，可通过上、下、左、右、左上、左下、右上、右下八个方向到达区域内的任意象素；

# 字符的生成

# 点阵式字符

点阵式字符将字符形状表示为一个矩形点阵，由点阵中点的不同值表达字符的形状。
使用点阵式字符时，需将字库中的矩形点阵复制到缓冲器中指定的单元中去。在复制过程中，可以施加变换，以获得简单的变化。

# 矢量式字符

矢量式字符将字符表达为点坐标的序列，相邻两点表示一条矢量，字符的形状便由矢量序列刻画。

# 点阵字符与矢量字符的比较

字符变换不同。对点阵字符的变换需要对每一个像素进行，变换、放大或旋转时会失真；表示矢量字符的是终点坐标，对矢量字符的变换是对端点的变换，属于几何变换，不会影响效果。
占用空间不同。矢量字符占用空间少，矢量字符只需保存一套字符，其他不同型号的字符可以通过相应的几何变换来产生。
矢量字符美观。除了直线段外，还可以用二次曲线段、三次曲线段等来表示，使字符更加美观，变换更方便。

# 三角形的光栅化

# 选择三角形的原因

最基础的多边形，任意多边形都可以由三角形组成；
保证三点在一个平面上
便于判断内部
便于插值计算（baricentric interpolation）

# 三角形的采样

	for (int x = 0; x < xmax; ++x)
	for (int y = 0; y < ymax; ++y)
	image[x][y] = inside(tri, x + 0.5, y + 0.5);

$\text{inside}(tri, x, y) = \begin{cases} 1 & \text{if } x, y \text{ is inside the triangle} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

如何判断点是否在三角形内

$\begin{align*} \vec{V_1} &= \vec{P_0P_1} \times \vec{P_0Q} \\ \vec{V_2} &= \vec{P_1P_2} \times \vec{P_1Q} \\ \vec{V_3} &= \vec{P_2P_0} \times \vec{P_2Q} \end{align*}$

如果 $\vec{V_1}, \vec{V_2}, \vec{V_3}$ 的方向相同，则点 $Q$ 在三角形内。

使用包围盒判断三角形是否在屏幕内

# 反走样（Antialiasing）

走样是由于图像的分辨率有限，导致图像中的曲线或者对比度较高的区域出现了锯齿状的现象。

# 先模糊再采样（Blurring Before Sampling）

# 傅立叶变换（Fourier Transform）

傅立叶变换是一种信号处理的方法，可以将信号分解为不同频率的正弦波。在图像处理中，可以将图像分解为不同频率的正弦波，然后对每个频率的正弦波进行模糊处理，最后再将这些正弦波合成为图像。

$\begin{align*} F(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i \omega x} dx\\ F(u, v) &= \iint_{-\infty}^{\infty} f(x, y) e^{-2\pi i (ux + vy)} dx dy\\ e^{ix} &= \cos x + i \sin x \end{align*}$

# 卷积（Convolution）

空间域中的卷积等于频域中的乘法，反之亦然

# 如何减少走样错误

增加采样率
- 本质上是增加傅立叶域中副本之间的距离
- 更高分辨率的显示器、传感器、帧缓冲区……
- 但：成本高且可能需要非常高的分辨率
反走样
- 在重复之前使傅立叶内容 “变窄”
- 即在采样之前滤除高频

# 通过平均值减少走样

对 f (x,y) 进行 1 像素的方框模糊卷积
然后在每个像素的中心进行采样

# 多重采样抗锯齿（MSAA）

通过在每个像素中心周围的多个位置进行采样来减少走样
例如，4x MSAA 会在每个像素中心周围的 4 个位置进行采样
通过对这些采样进行平均值来减少走样

# 图形变换

# 图形的几何变换

# 二维图形的基本变换

# 基本变换

# 平移

$\begin{align*} x' &= x + t_x \\ y' &= y + t_y \end{align*}$

# 旋转

$\begin{align*} x' &= x_r + (x - x_r) \cos \theta - (y - y_r) \sin \theta \\ y' &= y_r + (x - x_r) \sin \theta + (y - y_r) \cos \theta \end{align*}$

# 缩放

$\begin{align*} x' &= x \cdot S_x \\ y' &= y \cdot S_y \end{align*}$

当 $S_x or S_y < 0$ 时，图形会发生镜像变换

# 齐次坐标

齐次坐标表示法就是由 $n+1$ 维向量表示一个 $n$ 维向量。如 $n$ 维向量 $(P_1, P_2, \ldots, P_n)$ 表示为 $(hP_1, hP_2, \ldots, hP_n, h)$ ，其中 $h$ 称为哑坐标。

$h$ 可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标不是唯一的。
普通坐标与齐次坐标的关系为 “一对多”：

由普通坐标 $\times h \rightarrow$ 齐次坐标
由齐次坐标 $\div h \rightarrow$ 普通坐标

当 $h=1$ 时产生的齐次坐标称为 “规格化坐标”，因为前 $n$ 个坐标就是普通坐标系下的 $n$ 维坐标。

$(x, y)$ 的齐次坐标为 $(x_h, y_h, h)$ ，其中 $x_h = x \cdot h, y_h = y \cdot h, h \neq 0$ 。
$(x, y)$ 对应的齐次坐标为三维空间中的一直线：

$\begin{cases} x_h = hx \\ y_h = hy \\ z_h = h \end{cases}$

齐次坐标的优点

将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。
便于表示无穷远点。例如： $(x \times h, y \times h, h)$ ，令 $h$ 等于 $0$ 。
齐次坐标变换矩阵形式把直线变换成直线段，平面变换成平面，多边形变换成多边形，多面体变换成多面体。
变换具有统一表示形式的优点：便于变换合成，便于硬件实现

# 变换矩阵

# 平移矩阵

平移矩阵运算表示为

$\begin{bmatrix} x'&y'&1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x&y&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ T_x&T_y&1 \end{bmatrix}$

简记为 $\vec{p}' = \vec{p} \cdot T(T_x, T_y)$ 。其中， $\vec{p} = \begin{bmatrix} x&y&1 \end{bmatrix}$ ， $\vec{p}' = \begin{bmatrix} x'&y'&1 \end{bmatrix}$ ， $T(T_x, T_y)$ 为平移矩阵 $T(T_x, T_y) = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ T_x&T_y&1 \end{bmatrix}$ 。

# 旋转矩阵

旋转矩阵运算表示为

$\begin{bmatrix} x'&y'&1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x&y&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta&\sin \theta&0 \\ -\sin \theta&\cos \theta&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$

简记为 $\vec{p}' = \vec{p} \cdot R(\theta)$ 。其中， $R(\theta)$ 为旋转矩阵 $R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta&\sin \theta&0 \\ -\sin \theta&\cos \theta&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$ 。

# 缩放矩阵

缩放矩阵运算表示为

$\begin{bmatrix} x'&y'&1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x&y&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} S_x&0&0 \\ 0&S_y&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$

简记为 $\vec{p}' = \vec{p} \cdot S(S_x, S_y)$ 。其中， $S(S_x, S_y)$ 为缩放矩阵 $S(S_x, S_y) = \begin{bmatrix} S_x&0&0 \\ 0&S_y&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$ 。

# 错切矩阵

$\begin{bmatrix} x'&y'&1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x&y&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&d&0 \\ b&1&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x+by&y+dx&1 \end{bmatrix}$

当 $d=0$ $d = 0$ 时， $(x', y', 1) = (x + by, y, 1)$ $(x', y', 1) = (x + b y, y, 1)$ ：图形的 $y$ $y$ 坐标不变；
- 当 $b > 0$ ：图形沿 $+x$ 方向作错切位移。 $ABCD \rightarrow A_1B_1C_1D_1$
- 当 $b < 0$ ：图形沿 $-x$ 方向作错切位移。 $ABCD \rightarrow A_2B_2C_2D_2$

当 $b=0$ 时， $(x', y', 1) = (x, y + dx, 1)$ ：图形的 $x$ 坐标不变；
- 当 $d > 0$ ：图形沿 $+y$ 方向作错切位移。 $ABCD \rightarrow A_1B_1C_1D_1$
- 当 $d < 0$ ：图形沿 $-y$ 方向作错切位移。 $ABCD \rightarrow A_2B_2C_2D_2$
当 $b \neq 0, d \neq 0$ 时， $(x', y', 1) = (x + by, y + dx, 1)$ ：图形同时在 $x$ 和 $y$ 方向作错切位移。

# 三维图形的基本变换

# 三维旋转矩阵

# 绕 $z$ 轴旋转

$\begin{bmatrix} x' & y' & z' & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & y & z & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta & 0 & 0 \\ -\sin \theta & \cos \theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

# 绕 $x$ 轴旋转

$\begin{bmatrix} x' & y' & z' & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & y & z & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

# 绕 $y$ 轴旋转

$\begin{bmatrix} x' & y' & z' & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & y & z & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & 0 & -\sin \theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

# 绕任意轴旋转

$R(\theta) = T(-x_1, -y_1, -z_1) \times R_x(\alpha) \times R_y(\beta) \times R_z(\theta) \times R_y(-\beta) \times R_x(-\alpha) \times T(x_1, y_1, z_1)$

# 三维缩放矩阵

$\begin{bmatrix} x' & y' & z' & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & y & z & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} S_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & S_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & S_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

# 三维平移矩阵

$\begin{bmatrix} x' & y' & z' & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & y & z & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ T_x & T_y & T_z & 1 \end{bmatrix}$

# 坐标系统

# 世界坐标系（World Coordinates）

为了描述被处理的对象，要在对象所在的空间中定义一个坐标系，这个坐标系的长度单位和坐标轴的方向要适合对被处理对象的描述，这个坐标系通常就称之为世界坐标系或用户坐标系。世界坐标系一般采用右手三维笛卡儿坐标系。

# 观察坐标系（View Coordinates）

产生三维物体的视图，必须规定观察点 (视点) 和观察方向。
好比照相时选择拍摄的位置和方向。

左手笛卡儿坐标系：观察坐标系的原点通常设置在观察点 (视点)，Z 轴作为观察方向。
右手笛卡儿坐标系：视点确定在 Z 轴上的某一个位置，Z 轴仍为观察方向。

# 设备坐标系 (Device Coordinates)

与图形设备相关连的坐标系叫设备坐标系。

显示器以分辨率确定坐标单位，原点在左下角或左上角；
绘图机绘图平面以绘图精度确定坐标单位，原点一般在左下角。

# 规格化设备坐标系 (Normal Device Coordinates)

为了使图形处理过程做到与设备无关，通常采用一种虚拟设备的方法来处理，也就是图形处理的结果是按照一种虚拟设备的坐标规定来输出的。这种设备坐标规定为 $0≤X≤1$ ， $0≤Y≤1$ ，这种坐标系称之为规格化设备坐标系。

# 规格化变换

世界坐标系指定的显示范围叫窗口。规格化设备坐标系上与窗口对应的区域叫视区（视口）。

从窗口到视区的变换，称为规格化变换 (Normalization Transformation)。

$\begin{bmatrix} vx&vy&1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} wx&wy&1 \end{bmatrix} \times N$

其中， $N$ 为规格化变换矩阵。

$\begin{align*} N &= \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ -wx_L&-wy_B&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} S_x&0&0 \\ 0&S_y&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ vx_L&vy_B&1 \end{bmatrix} \\ S_x &= \frac{vx_R - vx_L}{wx_R - wx_L} \\ S_y &= \frac{vy_T - vy_B}{wy_T - wy_B} \end{align*}$

# 投影变换

投影 (project) 是一种使三维对象映射为二维对象的变换。它可描述为

$\text{project}(\text{object}(x, y, z)) \rightarrow \text{object}(x', y')$

投影的要素包括投影对象、投影面、投影线。

# 平行投影

# 正交平行投影（Orthographic Parallel Projection）

正投影的投影面与某一坐标轴垂直，而投影方向与该坐标轴的方向一致。正投影的图形，在长宽高三个方向上的比例与实物保持一致，因此，常用于工程制图。

# 斜交平行投影（Oblique Parallel Projection）

投影线与投影平面成 $\alpha$ 交角

# 透视投影

投影中心与投影平面之间的距离为有限
参数：投影方向
灭点：不平行于投影平面的平行线，经过透视投影之后收敛于一点，称为灭点
主灭点：平行于坐标轴的平行线的灭点。
- 一点透视
- 两点透视
- 三点透视
特点：产生近大远小的视觉效果，由它产生的图形深度感强，看起来更加真实。
投影中主灭点数目由与观察平面相交的主轴数目确定。

# 透视投影矩阵

$\begin{align*} M_{\text{ortho}}&= \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l}&0&0&0 \\ 0&\frac{2}{t-b}&0&0 \\ 0&0&\frac{2}{n-f}&0 \\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ -\frac{r+l}{2}&-\frac{t+b}{2}&-\frac{n+f}{2}&1 \end{bmatrix}\\ M_{\text{ortho}\rightarrow\text{persp}}&= \begin{bmatrix} n&0&0&0 \\ 0&n&0&0 \\ 0&0&n+f&-nf \\ 0&0&1&0 \end{bmatrix}\\ M_{\text{persp}}&=M_{\text{ortho}} \times M_{\text{ortho}\rightarrow\text{persp}} \end{align*}$

# 图形裁剪

# 直线的裁剪

直线和窗口的关系可以分为如下 3 类：

整条直线在窗口内。此时，不需剪裁，显示整条直线。
整条直线在窗口外。此时，不需剪裁，不显示整条直线。
部分直线在窗口内，部分直线在窗口外。此时，需要求出直线与窗框的交点，并将窗口外的直线部分剪裁掉，显示窗口内的直线部分。

直线剪裁算法有两个主要步骤：

首先将不需剪裁的直线挑出，即删去在窗外的直线。
然后，对其余直线，逐条与窗框求交点，并将窗口外的部分删去。

# Cohen-Sutherland 算法

Cohen-Sutherland 算法是一种直线裁剪算法，它将平面分为 9 个区域，每个区域用 4 位二进制数表示，称为区域码。

内域：区域 (0000)。
上域：区域 (1001, 1000, 1010)。
下域：区域 (0101, 0100, 0110)。
左域：区域 (1001, 0001, 0101)。
右域：区域 (1010, 0010, 0110)。

当线段的两个端点的编码的逻辑 “与” 非零时，线段为不可见的。因此，对某线段的两个端点的区号进行位与运算，可知这两个端点是否同在视区的上、下、左、右.

算法的主要思想是，对每条直线 $P_1P_2$ ：

对直线两端点 $P_1$ 、 $P_2$ 编码分别记为 $C_1(P_1) = \{a_1, b_1, c_1, d_1\}$ ， $C_2(P_2) = \{a_2, b_2, c_2, d_2\}$ ，其中， $a_i$ 、 $b_i$ 、 $c_i$ 、 $d_i$ 取值范围为 $\{1, 0\}$ ， $i \in \{1, 2\}$ 。
如果 $a_i = b_i = c_i = d_i = 0$ ，则显示整条直线，取出下一条直线，返回步骤 (1)。否则，进入步骤 (3)。
如果 $|a_1 - a_2| = 1$ ，则求直线与窗上边 $(y = y_{max})$ 的交点，并删去交点以上部分。如果 $|b_1 - b_2| = 1$ ，则求直线与窗下边 $(y = y_{min})$ 的交点，并删去交点以下部分。如果 $|c_1 - c_2| = 1$ ，则求直线与窗右边 $(x = x_{max})$ 的交点，并删去交点以右部分。如果 $|d_1 - d_2| = 1$ ，则求直线与窗左边 $(x = x_{min})$ 的交点，并删去交点以左部分。
返回步骤 (1)。

与裁剪边界的交点计算可以使用斜率 — 截距式的直线方程。

对于端点坐标为 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 的直线，与垂直边界交点的 $y$ 坐标可以由下列等式计算得到：

$y = y_1 + m(x - x_1), \quad m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

其中， $x$ 的值为 $x_{min}$ 或 $x_{max}$ 。

与水平边界交点的 $x$ 坐标可以由下列等式计算得到：

$x = x_1 + \frac{y - y_1}{m}, \quad m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

其中， $y$ 的值为 $y_{min}$ 或 $y_{max}$ 。

# Liang-Barsky 算法

对直线的参数化方程 $\begin{cases}x = x_1 + u\Delta x\\y = y_1 + u\Delta y\end{cases}$ ，其中， $0 \leq u \leq 1$ 。

首先按参数化形式写出裁剪条件：

$\begin{align*} x_{min} &\leq x_1 + u\Delta x \leq x_{max} \\ y_{min} &\leq y_1 + u\Delta y \leq y_{max} \end{align*}$

整理得到： $u p_k \leq q_k$ ，其中， $k = 1, 2, 3, 4$ 。其中

$\begin{align*} p_1 &= -\Delta x, &q_1 &= x_1 - x_{min} \\ p_2 &= \Delta x, &q_2 &= x_{max} - x_1 \\ p_3 &= -\Delta y, &q_3 &= y_1 - y_{min} \\ p_4 &= \Delta y, &q_4 &= y_{max} - y_1 \end{align*}$

算法的基本思想是从 $A, B$ 和 $P_0$ 三点中找出最靠近 $P_1$ 的点，图中要找的点是 $P_0$ 。从 $C, D$ 和 $P_1$ 中找出最靠近 $P_0$ 的点，图中要找的点是 $C$ 点。那么 $P_0C$ 就是 $P_0P_1$ 线段上的可见部分。

任何平行于裁剪边界之一的直线 $p_k = 0$ $p k = 0$ ，其中 $k$ $k$ 对应于裁剪边界（ $k = 1, 2, 3, 4$ $k = 1, 2, 3, 4$ 对应于左、右、下、上边界），
- 如果 $q_k < 0$ ，则线段完全在边界外，舍弃该线段。
- 如果 $q_k \geq 0$ ，则该线段平行于裁剪边界并且在窗口内。
当 $p_k < 0$ ，线段从裁剪边界延长线的外部延伸到内部。
当 $p_k > 0$ 时，线段从裁剪边界延长线的内部延伸到外部。
当 $p_k \neq 0$ 时，可以计算出线段与边界 $k$ 的延长线的交点的 $u$ 值： $u = \frac{q_k}{p_k}$ 。

梁友栋 - Barsky 裁剪算法在寻找线段可见部分（如果有可见线段）时可以归结为四个步骤：

如果对所有的 $k$ 都有 $p_k=0$ 和 $q_k<0$ ，删除线段并结束。否则继续执行下一步。
对所有 $p_k<0$ 的 $k$ ，计算 $r_k=\frac{q_k}{p_k}$ ，将 $0$ 和各个 $r_k$ 值之中的最大值赋给 $u_1$ 。
对所有 $p_k>0$ 的 $k$ ，计算 $r_k=\frac{q_k}{p_k}$ ，将 $1$ 和各个 $r_k$ 值之中的最小值赋给 $u_2$ 。
如果 $u_1>u_2$ ，则线段完全落在裁剪窗口之外，不可见，可直接舍弃。否则，裁剪后线段的端点由参数 $u$ 的两个值 $u_1$ 、 $u_2$ 计算出来。

# 多边形的裁剪

# Sutherland-Hodgman 算法

思路：将多边形的各边先相对于窗口的某一条边界进行裁剪，然后将裁剪结果再与另一条边界进行裁剪，如此重复多次，便可得到最终结果。

实现方法：

设置两个表：
- 输入顶点表（向量）：用于存放被裁剪多边形的顶点 $p_1$ - $p_m$ 。
- 输出顶点表（线性链表）：用于存放裁剪过程中及结果的顶点 $q_1$ - $q_n$ 。
输入顶点表中各顶点要求按一定顺序排列，一般可采用顺时针或逆时针方向。
相对于裁剪窗口的各条边界，按顶点表中的顺序，逐边进行裁剪。

具体操作：

若 $P_i$ 位于边界线的可见一侧，则 $P_i$ 送输出顶点表。
若 $P_i$ 位于边界线的不可见一侧，则将其舍弃。
除第一个顶点外，还要检查每一个 $P_i$ 和前一顶点 $P_{i-1}$ 是否位于窗口边界的同一侧，若不在同一侧，则需计算出交点送输出顶点表。
最后一个顶点 $P_n$ 则还要与 $P_1$ 一起进行同样的检查。

沿着多边形依次处理顶点会遇到四种情况。在将相邻的一对多边形顶点传到窗口的边界裁剪程序时，可以进行下列测试：

如果第一点在窗口边界外而第二点在窗口边界内，则将多边形的这条边与窗口边界的交点和第二点加到输出顶点表中。
如果两顶点都在窗口边界内，则只有第二点加到输出顶点表中。
如果第一点在窗口边界内而第二点在窗口外，则只有与窗口边界的交点加到输出顶点表中。
如果两个点都在窗口边界外，那么输出顶点表中不增加任何点。

# 真实感图形的生成技术

# 线消隐

线消隐是一种物空间消隐技术：在物体空间中，对物体的各个线段进行消隐处理，以确定哪些线段是可见的，哪些是不可见的。

	for (每个多边形) {
	for (每个多边形的边) {
	if (边在窗口内) {
	if (边不在任何多边形的背面) {
	画线
	}
	}
	}
	}

# 凸多面体的隐藏线 / 面消隐

设平面方程为 $a_ix + b_iy + c_iz + d_i = 0$ ，变换方程的系数，使 $(a_i, b_i, c_i)$ 指向物体外部。

将视线向量 $\vec{V_{\text{view}}}$ 与面法向量 $\vec{N_i}$ 的点积 $P_i = \vec{V_{\text{view}}} \cdot \vec{N_i}$ 代入平面方程，若 $P_i > 0$ ，则该面是背面。

# 凹多面体的隐藏线 / 面消隐

假设凹多面体用它的表面多边形的集合表示，消除隐藏线的问题可归结为：对于一条空间线段 $P_1P_2$ 和一个多边形 $a$ ，判断线段是否被多边形遮挡。如果被遮挡，求出隐藏部分。

# 直线与多边形的遮挡判断

若线段的两端点与视点在给定平面的同一侧，则线段位于给定平面的前面，是可见的，转步骤 9。
求线段与相应的无限平面的交。若无交点，转步骤 4；否则，转步骤 3。
交点将该线段分成两段，与视点同侧的一段是可见的，它没有被遮挡；另一段的可见性还不能确定，转步骤 4，继续测试。
若线段的投影与给定平面的投影的包围盒不相交，则线段可见，它不被该平面遮挡，转步骤 9。
求所剩线段的投影与平面边界投影的所有交点。
将线段的投影在交点处依次分成若干段，根据交点在原直线参数方程中的参数值的大小对线段进行排序。
求出第一投影线段的中点，若第一段的中点在多边形的投影内，则相应的线段被遮挡，否则不被遮挡。
其它各段的遮挡关系可依次按 "遮挡 / 可见" 交替地取值。例如：
- 如果第一段被遮挡，则后面线段的可见性依次为 "可见，遮挡，可见，..."
- 若第一段可见，则后面的线段依次为 "遮挡，可见，遮挡，..."
结束。

# 面消隐

面消隐是一种像素空间消隐技术：在屏幕空间中，对屏幕上的各个像素进行消隐处理，以确定哪些像素是可见的，哪些是不可见的。

	for (每个像素) {
	确定像素对应的距离视点最近的物体
	以该物体的颜色填充像素
	}

# 深度缓存法（Z-Buffer）

Z-Buffer 算法的基本思想是：在屏幕上为每个像素点建立一个深度缓存，用来存放该像素点对应的物体表面的深度值。在绘制物体时，对于每个像素点，首先计算该像素点对应的物体表面的深度值，然后将该深度值与深度缓存中的值进行比较，若该深度值小于深度缓存中的值，则将该深度值存入深度缓存，并将该像素点的颜色值存入颜色缓存；否则，不更新深度缓存和颜色缓存。

步骤

初始化 ZB 和 CB，使得 $ZB(i, j) = \infty$ ， $CB(i, j) = 0$ 。
对于每个多边形，计算其在屏幕上的投影，对于每个像素 $(i, j)$ ，计算其对应的深度值 $Z(i, j)$ 。
如果 $Z(i, j) < ZB(i, j)$ ，则更新 $ZB(i, j) = Z(i, j)$ 和 $CB(i, j)$ 。
最后，将 $CB(i, j)$ 的值填充到屏幕上的像素 $(i, j)$ 。
重复步骤 2-4，直到所有多边形都被处理。

判断点 $(i, j)$ 是否在多边形 $F_k$ 在投影面上的投影内：采用包含测试（射线法）
计算多边形 $F_k$ 在点 $( i, j )$ 处的深度值 $Z_{i, j}$ ：若多边形 $F_k$ 的平面方程为： $ax + by + cz + d = 0$ ，则有： $Z_{i, j} = -\frac{ax_i + by_j + d}{c}, c \neq 0$ 。

相邻点 $(i+1,j)$ 处 $Z_{i+1, j} = Z-\frac{A}{C}$

# 光照模型

# 光源特性

光的色彩
光的强度： $0.30*R+0.59*G+0.11*B$
光的方向

# 物体的表面特性

反射系数
透射系数： $0 \leq T \leq 1$
表面方向

# 光照模型的计算

# 漫射光照模型

# 漫反射光照模型

该公式表示区域内的漫反射光强，其计算方式为：

$\vec{E_{Pd}} = \vec{R_P} \vec{I_d}$

$\vec{R_P}$ 表示物体在点 $P$ 的反射系数
$\vec{I_d}$ 表示漫反射光强

# 直射光照模型

该公式表示直接光照成分，其计算方式为：

$\vec{E_{Ps}} = \vec{R_P} \cos i \vec{I_{Ps}} + W_P(i)\cos^n s \vec{I_{Ps}}$

$\cos i$ 为光线入射与法线方向的夹角余弦
$W_P(i)$ 为与高光相关的权重函数
$n$ (会聚系数) 用于控制高光的聚散程度
$\vec{I_{Ps}}$ 表示光源直射光强

# 透射光照模型

$\vec{E_{Pt}} = \vec{T_p} \vec{I_{Pb}}$

$\vec{E_{Pt}}$ ：物体表面 $P$ 点处透射出的光强
$\vec{T_P}$ ： $P$ 点的透射系数（取值范围为 $0 ～ 1$ ）
$\vec{I_{Pb}}$ ：到达 $P$ 点背后的光强

# 合并光照模型

$\begin{align*} \vec{E_P} &= \vec{E_{Pd}} + \vec{E_{Ps}} + \vec{E_{Pt}} &= \vec{R_P} \vec{I_d} + (\vec{R_P} \cos i+ W_P(i)\cos^n s) \vec{I_{Ps}} + \vec{T_p} \vec{I_{Pb}} \end{align*}$

$\cos i = \frac{\vec{N} \cdot \vec{L}}{|\vec{N}||\vec{L}|} = \hat{\vec{N}} \cdot \hat{\vec{L}}$
$\cos s = \frac{\vec{R} \cdot \vec{V}}{|\vec{R}||\vec{V}|} = \hat{\vec{R}} \cdot \hat{\vec{V}}$

# 多光源光照模型

$\vec{E_P} = \vec{R_P} \vec{I_d} + \sum_{i=1}^n(\vec{R_P} \cos i+ W_P(i)\cos^n s) \vec{I_{Ps}} + \vec{T_p} \vec{I_{Pb}}$

# 明暗的光滑处理

# Gourand 光滑处理

在每个顶点处计算光照强度，然后在多边形内部进行插值。

基本步骤

先计算出多面体顶点的法线方向
用光照模型求得 $V$ 点的亮度
由两个相邻顶点的亮度插值得到棱上各点的亮度。由棱上各点的亮度插值得到面内各点的亮度。

计算顶点法向量

设与多面体顶点 $V$ 相邻的多边形为 $P_1, P_2, \dots, P_n$ ，它们的法线分别为 $N_1(a_1, b_1, c_1), N_2(a_2, b_2, c_2), \dots, N_n(a_n, b_n, c_n)$ 。则 $V$ 的法线 $n_V$ 取做：

$n_V = (a_1 + a_2 + \dots + a_n)\vec{i} + (b_1 + b_2 + \dots + b_n)\vec{j} + (c_1 + c_2 + \dots + c_n)\vec{k}$

用光照模型求得 V 点的亮度
由两顶点的亮度，插值得出棱上各点的亮度。由棱上各点的亮度，插值得出面上各点的亮度。

如果希望在某处不处理成光滑而要保留折痕效果，方法是在顶点 $b$ 处设置两条法线，分别用于 $A$ 和 $B$ 、 $C$ 和 $D$ 之间的插值。

优点：能有效地显示漫反射曲面，计算量小

缺点：

高光有时会异常。
当对曲面采用不同的多边形进行分割时会产生不同的效果。
Gouraud 明暗处理会造成表面上出现过亮或过暗的条纹，称为马赫带（Mach band）效应。

改进：Phong 提出双线性法向插值，以时间为代价，解决高光问题。

# Phong 光滑处理

通过对多边形顶点的法矢量进行插值，获得其内部各点的法矢量，又称为法向插值着色方法。

基本步骤

计算多边形单位法矢量
计算多边形顶点单位法矢量
对多边形顶点法矢量进行双线性插值，获得内部各点的法矢量
利用光照明方程计算多边形内部各点颜色

# 比较

Phong 着色方法绘制的图形比 Gouraud 方法更真实，体现在两个方面：高光区域的扩散，产生正确的高光区域。

Phong 着色方法计算量远大于 Gouraud 着色方法。
在处理某些多边形分割的曲面时，Phong 算法还不如 Gouraud 算法好。

# 阴影处理

# 阴影的分类

本影：光线无法到达的区域
半影：光线部分到达的区域

场景绘制时，先利用消隐技术确定物体表面的可见部分或者是像素所对应的物体表面上的可见点，然后应用光照模型计算物体表面上可见点的亮度，这时如果根据光源是否可以直接照射到物体表面上当前可见点来取舍光源的照明效果，则绘制出来的图像具有阴影的效果。

# 影域多边形方法

所谓影域，就是物体投射出的台体。判断点是否在台体中即可确定是否在阴影中。

# 整体光照模型

# Whitted 光照模型

Whitted 光照模型基于如下假设：

物体表面向视点方向 $V$ 辐射的光亮度 $I$ 由三部分组成：
1. 光源直接照射引起的反射光亮度 $I_c$ ；
2. 来自 $V$ 的镜面反射方向 $R$ 的其它物体反射或折射来的光的亮度 $I_s$ ；
3. 来自 $V$ 的透射方向 $T$ 的其它物体反射或折射来的光的亮度 $I_t$ 。
Whitted 光照模型： $I = I_c + k_s I_s + k_t I_t$
- $I_s$ 为镜面反射方向的入射光强度； $k_s$ 为镜面反射系数，为 $0～1$ 之间的一个常数
- $I_t$ 为折射方向光强， $k_t$ 为透射系数，是 $0 ～ 1$ 之间的常数
- $I_c$ 的计算可采用 Phong 模型
- 因此，关键是 $I_s$ 和 $I_t$ 的计算。由于 $I_s$ 和 $I_t$ 是来自 $V$ 的镜面反射方向 $r$ 和规则透射方向 $t$ 的环境光亮度，因而首先必须确定 $r$ 和 $t$ 。

# Whitted 光照模型的反射和折射计算

已知视线方向 $V$ ，求其反射方向 $R$ 与折射方向 $T$ （ $N$ 是表面的法向方向）

视线 $V$ 的反射方向 $r$ ：

$r = 2N - V$
折射方向 $t$ ：

$t=k_f(N-V') - N$

其中， $k_f$ 是折射系数。

# Graphics Pipeline

# Vertex Processing（顶点处理）

对输入的每个顶点执行以下操作：

应用建模变换 (Model Transform)：将模型空间坐标转换到世界空间
应用视图变换 (View Transform)：将世界空间坐标转换到相机空间
应用投影变换 (Projection Transform)：将相机空间坐标转换到规范化设备坐标 (NDC)

# Triangle Processing（三角形处理）

将顶点组装成三角形
背面剔除：剔除背对相机的三角形
裁剪：剔除或裁剪完全 / 部分在视锥体外的三角形
投影除法：将裁剪空间坐标转换到 NDC
屏幕映射：将 NDC 映射到屏幕空间坐标

# Rasterization（光栅化）

三角形遍历：确定三角形覆盖的像素
插值：对每个像素计算其深度值、颜色、纹理坐标等属性
三角形覆盖测试：判断像素中心是否在三角形内

# Fragment Processing（片元处理）

对每个片元 (fragment) 执行：

纹理采样：获取纹理颜色
着色计算：应用光照模型计算片元颜色
Alpha 测试：根据透明度值决定是否丢弃片元

# FrameBuffer Operations（帧缓存操作）

最终阶段的测试和操作：

深度测试 (Z-test)：比较片元深度值
模板测试 (Stencil test)：用于实现阴影等特效
混合 (Blending)：处理透明物体
颜色写入：将最终颜色写入帧缓存

# 光线追踪

光线跟踪方法沿着到达视点的光线的反方向跟踪，经过屏幕上每一像素，找出与视线所交的物体表面点 $P_0$ ，并继续跟踪，找出影响 $P_0$ 点光强的所有光源，从而算出 $P_0$ 点上光照强度。

视线 $V$ 在 $P_0$ 处产生反射和透射，所产生的反射线和透射线作为新的视线与各平面求出新的交点 $P_1$ 、 $P_2$ ，并分别产生新的反射线和透射线…… 这样不断深入，直至所产生的射线射出场景。由此得到视线跟踪轨迹上的一系列交点 $P_0$ ， $P_1$ ， $P_2$ ，…， $P_n$ 。这个过程可以表示为一棵光线跟踪树。

光强计算方法是以后序周游的算法遍历这棵光线跟踪树。

光线跟踪方法优点：

各物体之间反射的影响，因此显示效果十分逼真。
有消隐功能
有影子效果
该算法具有并行性质

# 辐射度量学

# Radient Energy and Flux (Power) （辐射能量和通量）

辐射能量（Radiant energy）是电磁辐射的能量。它的单位是焦耳，用符号表示：

$Q [J = 焦耳]$

辐射通量（功率）（Radiant flux (power) ）是每单位时间内发射、反射、传输或接收的能量。

$\Phi \equiv \frac{dQ}{dt} [W = 瓦特] [lm = 流明]$

# Radiant Intensity （辐射强度）

辐射（光）强度是点光源每单位立体角发射的功率。

$I(\omega) \equiv \frac{d\Phi}{d\omega} [W/sr = 瓦特/立体角][lm/sr == cd = 坎德拉]$

# Differential Solid Angles（微分立体角）

$\begin{align*} dA &= (r d\theta)(r \sin \theta d\phi) = r^2 \sin \theta d\theta d\phi\\ d\omega &= \frac{dA}{r^2} = \sin \theta d\theta d\phi \end{align*}$

$\omega$ 将用来表示方向向量（单位长度）

# Irradiance （辐照度）

辐照度是指单位面积上入射到表面点的功率。

$E(x) \equiv \frac{d\Phi}{dA} [W/m^2][lm/m^2 = lux = 勒克斯]$

# Radiance （辐射度）

辐射度（亮度）是单位立体角、单位投影面积上由表面发射、反射、透射或接收的功率。

$L(p, \omega) \equiv \frac{d^2\Phi(p,\omega)}{dA d\omega \cos \theta} [W/(m^2 sr)][lm/(m^2 sr) = cd/m^2 = nit = 尼特]$

# Incident Radiance （入射辐射度）

入射辐射度是指单位立体角、单位投影面积上入射到表面点的辐射度。

$L_i(p, \omega) \equiv \frac{dE(p)}{d\omega \cos \theta}$

# Exiting Radiance （出射辐射度）

出射辐射度是指单位立体角、单位投影面积上由表面点发射、反射、透射或接收的辐射度。

$L_o(p, \omega) \equiv \frac{dI(p, \omega)}{dA\cos \theta}$

# Irradiance vs. Radiance （辐照度与辐射度）

$E(p) = \int_{H^2} L_i(p, \omega) \cos \theta d\omega$

# BRDF（双向反射分布函数）

双向反射分布函数（BRDF）表示从每个入射方向反射到每个出射方向的光量。

$f_r(\omega_i \rightarrow \omega_o) = \frac{dL_r(\omega_r)}{dE_i(\omega_i)} = \frac{dL_r(\omega_r)}{L_i(\omega_i) \cos \theta_i d\omega_i} [sr^{-1}]$

# 渲染方程

$L_r(X, \omega_r) = L_e(X, \omega_r) + \int_{\Omega} L_r(X', -\omega_i) f_r(X, \omega_i, \omega_r) (\omega_i \cdot N) d\omega_i$

$L_r(X,\omega_r)$ ：点 $X$ 处沿方向 $\omega_r$ 的反射光亮度。
$L_e(X,\omega_r)$ ：点 $X$ 处沿方向 $\omega_r$ 的自发光亮度。
$L_r(X',\omega_i)$ ：点 $X'$ 处沿方向 $\omega_i$ 的反射光亮度。
$f_r(X,\omega_i,\omega_r)$ ：点 $X$ 处从方向 $\omega_i$ 到方向 $\omega_r$ 的双向反射分布函数（BRDF）。
$(\omega_i \cdot n)$ ：入射方向 $\omega_i$ 与法线 $n$ 的点积，用于表示入射光的角度对亮度的影响。

# Ray Intersection 的计算

光线方程： $\vec{r(t)} = \vec{o} + t\vec{d}, t \geq 0$
平面方程： $\vec{p}: (\vec{p}-\vec{p}') \cdot \vec{N} = 0$

$t = \frac{(\vec{p}' - \vec{o}) \cdot \vec{N}}{\vec{d} \cdot \vec{N}}$

# 表面图案与纹理

# 表面图案的描绘

将一幅平面图案描绘到物体表面上的过程如下：

将平面图案上的各点 $(x', y')$ 映射到物体表面的各点 $(x, y, z)$ 。
求出点 $(x, y, z)$ 处新的反射系数。
用光照模型计算物体表面点 $(x, y, z)$ 的色彩明暗。

# 表面纹理的描绘

Blinn 在 1978 年提出，用扰动物体表面法线方向的方法来模拟表面凹凸纹理的真实感显示效果。

物体的新表面 $S(u, v)$ 定义为 ( $Q(u, v)$ 为原表面):

$S(u, v) = Q(u, v) + P(u, v)(\frac{N}{|N|})$

上式对 $u$ 、 $v$ 分别求偏导函数，得：

$\begin{align*} S_u &= Q_u + P_u\frac{N}{|N|}\\ S_v &= Q_v + P_v\frac{N}{|N|} \end{align*}$

记 $N_S$ 为 $S(u, v)$ 的法向量。法向量可以表示为两个偏导向量 $S_u$ 和 $S_v$ 的叉积，即

$\begin{align*} N_S &= S_u \times S_v\\ &= (Q_u + P_u\frac{N}{|N|}) \times (Q_v + P_v\frac{N}{|N|})\\ &= N + \frac{P_u(Q_v \times N)+P_v(N \times Q_u)}{|N|}\\ \end{align*}$

# 色彩空间

# 颜色的基本概念

格拉斯曼 (Grassmann H.) 定律，从视觉的角度看，颜色包含 3 个要素，即色调、饱和度和亮度。分别对应光学中的术语：主波长、纯度和辉度。

# CIE 色度图

红、绿、蓝是三种原色。国际照明委员会（CIE）规定了三种标准原色：X、Y、Z。

颜色可以表示为：

$c = xX + yY + zZ$

权值规格化：

$\begin{align*} x &= \frac{X}{X + Y + Z} \\ y &= \frac{Y}{X + Y + Z} \\ z &= \frac{Z}{X + Y + Z} \end{align*}$

# 几种常见的色彩空间

RGB 色彩空间：红、绿、蓝
CMYK 色彩空间：青、品红、黄、黑

# Geometry

# 几何体的表示

隐式表示
- algebraic surface（代数曲面）
- level sets（等值集）
- distance functions（距离函数）
- constructive solid geometry（CSG，构造实体几何）
- fractals（分形）
显式表示
- point cloud（点云）
- polygon mesh（多边形网格）
- subdivision, NURBS（细分曲面，非均匀有理 B 样条曲面）

# 几何体表示的优缺点

隐式表示
- 优点：
  - 紧凑的描述（例如一个函数）
  - 某些查询容易（物体内部、到表面的距离）
  - 适合射线 - 表面相交计算
  - 对于简单形状，有精确描述 / 无采样误差
  - 容易处理拓扑变化（例如流体）
- 缺点：
  - 难以建模复杂形状
显式表示
- 优点：容易采样，容易计算法向量
- 缺点：测试点是否在几何体内部困难

# 曲线与曲面

# 曲线与曲面的表示

有一空间点 A，从原点 O 到 A 点的连线表示一个矢量，此矢量称为位置矢量。
空间一点的位置矢量有三个坐标分量，而空间曲线是空间动点运动的轨迹，也就是空间矢量端点运动形成的矢端曲线，其矢量方程为：

$C(u) = (x(u), y(u), z(u))$

此式也称为单参数的矢函数。它的参数方程为：

$\begin{cases} x = x(u)\\ y = y(u)\\ z = z(u) \end{cases} ,u \in [u_0, u_n]$

# 曲线的矢函数求导

设当参数 $u$ 变为 $u + \Delta u$ 时，矢函数对应的位置由 $\vec{C}(u)$ 变为 $\vec{C}(u + \Delta u)$ ，线段对应的矢量差为：

$\Delta \vec{C}(u) = \vec{C}(u + \Delta u) - \vec{C}(u)$

其变化率为：

$\frac{\vec{C}(u + \Delta u) - \vec{C}(u)}{\Delta u}$

当 $\Delta u \to 0$ 时，这个矢量的极限叫做 $\vec{C}(u)$ 的一阶导矢，记为 $\frac{d\vec{C}}{du}$ 或：

$\vec{C}'(u) = \lim_{\Delta u \to 0} \frac{\vec{C}(u + \Delta u) - \vec{C}(u)}{\Delta u}$

又设 $\vec{r(u)} = [x(u), y(u), z(u)]$ ，因为：

$\frac{\vec{C}(u + \Delta u) - \vec{C}(u)}{\Delta u} = [\frac{x(u + \Delta u) - x(u)}{\Delta u}, \frac{y(u + \Delta u) - y(u)}{\Delta u}, \frac{z(u + \Delta u) - z(u)}{\Delta u}]$

所以：

$\vec{C}'(u) = [x'(u), y'(u), z'(u)]$

矢函数的导矢也是一个矢函数，因此也有方向和模。矢量 $\frac{[\vec{C}(u + \Delta u) - \vec{C}(u)]}{\Delta u}$ 的方向平行于割线 $MM_1$ ；当 $\Delta u \to 0$ 时， $\frac{\vec{C}(u)}{\Delta u}$ 就转变为 $M(u)$ 点的切线矢量，故又称导矢为切矢。

# 曲线的自然参数方程

设在空间曲线 $C(u)$ 上任取一点 $M_0(x_0, y_0, z_0)$ 作为计算弧长的初始点，曲线上其他点 $(x, y, z)$ 到 $M_0$ 之间的弧长 $s$ 是可以计算的（如用弧长积分公式或累计弦长公式），这样曲线上每个点的位置与它的弧长之间有一一对应关系。以曲线弧长作为曲线方程的参数，这样的方程称为曲线的自然参数方程，弧长则称为自然参数：

$C = C(s) = [x(s), y(s), z(s)]$

# 曲线的法矢量

设空间曲线的自然参数方程为 $C=C(s)$ ，曲线的切矢为单位矢量，记为 $T$ ：

$T(s) = \dot{C}(s)$

因为 $(T(s))^2 = 1$ ，对左式求导，得到：

$2T(s) \cdot \dot{T}(s) = 0$

说明 $T(s)$ 垂直于 $\dot{T}(s)$ ，鉴于 $\dot{T}(s)$ 不是单位矢量，可以认为：

$\dot{T}(s) = k(s)N(s)$

单位矢量 $N(s)$ 定义为曲线的主法线单位矢量，简称主法矢；主法矢 $N(s)$ 总是指向曲线凹入的方向；而 $k(s)$ 是一标量系数，称为曲线的曲率，而矢量 $\ddot{C}(s) = \dot{T}(s)$ 称为曲率矢量，其模就是该曲线的曲率：

$|\ddot{C}(s)| = k(s)$

记 $\rho(s) = \frac{1}{k(s)}$ ，称为曲率半径。

令垂直于 $T$ 和 $N$ 的单位矢量为 $B$ ，称此矢量为此法线单位矢量或副法线单位矢量：

$B(s) = T(s) \times N(s)$

由切线和主法线所确定的平面称为密切平面；由主法线和副法线组成的平面称为法平面；由切线和副法线构成的平面称为从切面。

# 曲面的切矢和法矢

空间曲面采用双参数表示：

$S = S(u, v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)]$

当 $v$ 为常数时，上式变成单参数 $u$ 的矢函数，它是曲面上的空间曲线，我们称它为 $v$ 线；

当 $u$ 为常数时，上式变成单参数 $v$ 的矢函数，它是曲面上的空间曲线，我们称它为 $u$ 线；

将矢函数对 $u$ 求导，得切矢：

$\frac{\partial S}{\partial u} = \lim_{\Delta u \to 0} \frac{S(u + \Delta u) - S(u)}{\Delta u} = [x_u(u, v), y_u(u, v), z_u(u, v)]$

切矢的方向指向参数 $u$ 增长的方向。

同样，将矢函数对 $v$ 求导，得切矢：

$\frac{\partial S}{\partial v} = \lim_{\Delta v \to 0} \frac{S(v + \Delta v) - S(v)}{\Delta v} = [x_v(u, v), y_v(u, v), z_v(u, v)]$

切矢的方向指向参数 $v$ 增长的方向。

经过曲面上某一点 $M$ 处的切平面的法矢量为：

$N = \frac{\partial S}{\partial u} \times \frac{\partial S}{\partial v} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ x_u & y_u & z_u \\ x_v & y_v & z_v \end{vmatrix}$

# 参数表示的优点

有更大的自由度控制曲线曲面的形状；
可对参数曲线曲面的方程直接进行几何变换，而不需要对曲线曲面的每个数据点进行几何变换；
可以处理斜率无穷大的情况；
代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，对变量个数不限，便于将低维空间中的曲线曲面扩展到高维空间中；
便于采用规格化的参数变量
易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化计算。

# 插值、逼近和拟合

# 曲线曲面设计的基本概念

型值点：通过测量或计算得到的曲线 / 曲面上少量描述其几何形状的数据点
控制点：用来控制或调整曲线曲面形状的特殊点，曲线曲面本身不一定通过控制点
插值与逼近：
- 插值：建立的数学模型严格通过所有已知型值点
- 逼近：建立的数学模型只是近似接近已知型值点
拟合：在设计过程中，用插值或逼近方法使生成的曲线曲面达到特定设计要求

# 曲线段间的连续性定义

C₀ 连续（0 阶参数连续）：前一段曲线的终点与后一段曲线的起点相同。
C₁ 连续（一阶参数连续）：两相邻曲线段的连接点处有相同的一阶导数。
C₂ 连续（二阶参数连续）：两相邻曲线段的连接点处有相同的一阶导数和二阶导数。

对于参数曲线段 $C_1(u), C_2(u), u \in [0,1]$ ，若在点 $P$ 处 $C_1(1) = C_2(0) = P$ ，则在 $P$ 处具有 $C^0$ ， $G^0$ 连续；
$C_1(u), C_2(u), u \in [0,1]$ 在点 $P$ 处重合，且在点 $P$ 处的切矢量方向相同，大小不相等，则在点 $P$ 处具有 $G^1$ 连续；
$C_1(u), C_2(u), u \in [0,1]$ 在点 $P$ 处重合，且在 $P$ 点处的切矢量方向相同，大小相等，则在点 $P$ 处具有 $C^1$ 连续；
$C_1(u), C_2(u), u \in [0,1]$ 若在点 $P$ 处已有 $C^0$ 、 $C^1$ 连续性，且 $C''_1(0)$ 、 $C''_2(1)$ 的大小和方向均相同，则在点 $P$ 处具有 $C^2$ 连续；
$C_1(u), C_2(u), u \in [0,1]$ 若在点 $P$ 处已有 $G^0$ 、 $G^1$ 连续性，且 $C''_1(0)$ 、 $C''_2(1)$ 的方向相同，大小不相等，则在点 $P$ 处具有 $G^2$ 连续。

# Bézier 曲线

在给定空间 $n+1$ 个点 $P_0, P_1, \dots, P_n$ ，称下列参数曲线为 $n$ 次的 Bézier 曲线：

$C_n(u) = \sum_{i=0}^n P_i B_{i,n}(u)$

其中， $B_{i,n}(u)$ 是 Bernstein 基函数，即：

$B_{i,n}(u) = C_n^i u^i(1-u)^{n-i}, \quad C_n^i = \frac{n!}{i!(n-i)!}$

（注：Bézier 本人也不能解释该公式的来源）

一般称折线 $P_0, P_1, \dots, P_n$ 为 $C(u)$ 的控制多边形； $P_0, P_1, \dots, P_n$ 各点为 $C(u)$ 的控制顶点。控制多边形是 $C(u)$ 的大致形状的勾画； $C(u)$ 是对 $P_0, P_1, \dots, P_n$ 的逼近。

# Bernstein 基函数性质

# 非负性

对于所有的 $i$ ， $n$ 以及 $u \in [0,1]$ 均有 $B_{i,n}(u) \geq 0$ 成立；

# 规范性

$\sum_{i=0}^n B_{i,n}(u) \equiv 1, \quad u \in [0,1]$

# 对称性

$B_{i,n}(u) = B_{n-i,n}(1-u), \quad i = 0,1,...,n$

# 递推性

$B_{i,n}(u) = (1-u)B_{i,n-1}(u) + uB_{i-1,n-1}(u), \quad i = 0,1,...,n$

# 端点性

$B_{i,n}(0) = \begin{cases} 1, & i = 0 \\ 0, & \text{else} \end{cases}$

$B_{i,n}(1) = \begin{cases} 1, & i = n \\ 0, & \text{else} \end{cases}$

# 最大性

$B_{i,n}(u)$ 在 $u = \frac{i}{n}$ 处达到最大值；

# 可导性

$\frac{dB_{i,n}(u)}{du} = n[B_{i-1,n-1}(u) - B_{i,n-1}(u)], \quad i = 0,1,...,n$

# 升阶公式

$\begin{align*} \frac{i}{n+1}B_{i,n}(u) &= (1-u)B_{i,n+1}(u) \\ \frac{n-i+1}{n+1}B_{i,n}(u) &= uB_{i+1,n+1}(u) \\ B_{i,n}(u) &= \frac{n-i+1}{n+1}B_{i,n+1}(u) + \frac{i+1}{n+1}B_{i+1,n+1}(u) \end{align*}$

# 分割性

$B_{i,n}(cu) = \sum_{j=0}^n B_{i,j}(c)B_{j,n}(u)$

# 积分性

$\int_0^1 B_{i,n}(u)du = \frac{1}{n+1}$

# Bézier 曲线性质

# 端点性质

$\begin{align*} C(0) &= P_0 \\ C(1) &= P_n \end{align*}$

# 端点切矢量

$\begin{align*} C'(u) &= n\sum_{i=0}^{n-1} B_{i,n-1}(u)(P_{i+1} - P_i) \\ C'(0) &= n(P_1 - P_0) \\ C'(1) &= n(P_n - P_{n-1}) \end{align*}$

Bézier 曲线在 $P_0$ 点处与边 $P_0P_1$ 相切，在点 $P_n$ 处与边 $P_{n-1}P_n$ 相切。

# 端点的曲率

在 $C(u)$ 两端点的曲率分别为：

$\begin{align*} K(0) &= \frac{n-1}{n} \frac{|P_0P_1 \times P_1P_2|}{|P_0P_1|^3} \\ K(1) &= \frac{n-1}{n} \frac{|P_{n-2}P_{n-1} \times P_{n-1}P_n|}{|P_{n-1}P_n|^3} \end{align*}$

这是因为：

$\begin{align*} C''(u) &= n(n-1)\sum_{i=0}^{n-2} (P_{i+2} - 2P_{i+1} + P_i)B_{i,n-2}(u) \\ C''(0) &= n(n-1)(P_2 - 2P_1 + P_0) \\ C''(1) &= n(n-1)(P_n - 2P_{n-1} + P_{n-2}) \end{align*}$

# 对称性

若保持原全部顶点的位置不变，只是把次序颠倒过来，则新的 Bézier 曲线形状不变，但方向相反。

# 几何不变性

Bézier 曲线的位置和形状只与特征多边形的顶点的位置有关，它不依赖坐标系的选择。移动第 $i$ 个控制顶点 $P_i$ 将对曲线上参数为 $u = \frac{i}{n}$ 的那个点 $C(\frac{i}{n})$ 处发生最大的影响。

# 凸包性

因为是控制顶点 $P_0, P_1, \dots, P_n$ 的加权平均，而权因子 $B_{i,n}(u) \in [0,1]$ 范围内，这在几何意义上有两层含义：

Bézier 曲线 $C(u)$ 位于其控制顶点 $P_0, P_1, \dots, P_n$ 的凸包之内；
Bézier 曲线 $C(u)$ 随着其控制多边形的变化而变化。

# 常用 Bézier 曲线的矩阵表示

由 Bézier 曲线 C (u) 的定义，可推出常用的一次、二次、三次 Bézier 曲线矩阵表示。

# 一次 Bézier 曲线

$\begin{align*} C(u) &= (1-u)P_0 + uP_1 \\ &= [u, 1]\begin{bmatrix}-1 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}P_0 \\ P_1\end{bmatrix} \end{align*}$

# 二次 Bézier 曲线

$\begin{align*} C(u) &= (1-u)^2P_0 + 2u(1-u)P_1 + u^2P_2 \\ &= [u^2, u, 1]\begin{bmatrix}1 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}P_0 \\ P_1 \\ P_2\end{bmatrix} \end{align*}$

# 三次 Bézier 曲线

$\begin{align*} C(u) &= (1-u)^3P_0 + 3u(1-u)^2P_1 + 3u^2(1-u)P_2 + u^3P_3 \\ &= [u^3, u^2, u, 1]\begin{bmatrix} -1 & 3 & -3 & 1 \\ 3 & -6 & 3 & 0 \\ -3 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} P_0 \\ P_1 \\ P_2 \\ P_3 \end{bmatrix} \end{align*}$

# Bézier 曲线的 De Casteljau 算法

给定三维空间点 $P_0, \dots, P_n$ 以及一维标量参数 $u$ ；假定：

$P_i^r = (1-u)P_i^{r-1} + uP_{i+1}^{r-1}(u) \quad \begin{cases} r = 1,\dots,n \\ i = 0,\dots,n-r \end{cases}$

并且 $P_i^0(u) = P_i$ ，那么 $P_0^n(u)$ 即为 Bézier 曲线上参数 $u$ 处的点。

# Bézier 曲线的几何作图法

利用 De Casteljau 算法可以以几何方式计算参数值 $u$ 处的曲线点：

根据给定的参数值 $u$ ，在控制多边形的每条边上确定某一分割点，使分割后的线段之比为 $u:(1-u)$ ；由此得分割点为：

$P_i^1 = (1-u)P_i + uP_{i+1}, \quad i = 0, 1, 2, \dots, n-1$

由此组成一个边数为 $(n-1)$ 的新的多边形。
用相同的方法对该多边形再次分割，得到分割点 $P_i^2(i = 0,\dots,n-2)$ 形成另一个新的多边形；
按相同的过程分割 $n-1$ 次后，得到两个顶点 $P_0^{n-1}, P_1^{n-1}$ ，再分割得到所求的点 $P_0^n$ 即为所求的 $u$ 处的曲线点；

# Bézier 曲线的分割

几何作图法中计算 $P_0^n$ 得到的同时也将原 Bézier 曲线分为两个子曲线段： $P_0$ , $P_0^1$ , ..., $P_0^n$ 就是定义在 $[0,u]$ 上的子曲线段，而 $P_0^n$ , $P_1^{n-1}$ , ..., $P_n^0$ 是定义在 $[u,1]$ 上的子曲线段。

Bézier 曲线的任意分割是指给定两个参数值 $u_1$ , $u_2$ $(0 \leq u_1 \leq u_2 \leq 1)$ ，求原 Bézier 曲线 $C(u), u \in [0,1]$ 上由两点 $C(u_1)$ 与 $C(u_2)$ 所界定的那段子曲线段的控制顶点：

先用 $u = u_1$ 对原曲线做一分为二的分割；
对 $u \in [0,u_2]$ 那个子曲线用 $u = \frac{u_1}{u_2}$ 做一分为二的分割，所得子曲线段 $P(u), u \in [\frac{u_1}{u_2},1]$ 就是所求的原 Bézier 曲线的子曲线段 $P(u), u \in [u_1,u_2]$ 。

# Bézier 曲线的拼接

设有两条 Bézier 曲线 $P(u)$ 和 $Q(w)$ ，其控制顶点分别为： $P_0, P_1, \dots, P_n$ 和 $Q_0, Q_1, \dots, Q_m$ ：

$\begin{align*} P(u) &= \sum_{i=0}^n P_i B_{i,n}(u), & u \in [0,1] \\ Q(w) &= \sum_{j=0}^m P_j B_{j,m}(w), & w \in [0,1] \end{align*}$

考虑两条曲线的拼接，几何连续的条件如下：

一阶连续性

根据端矢量条件：

$P'(1) = m(P_m - P_{m-1})\\ Q'(0) = n(Q_1 - Q_0)$

其连续条件为：

$P'(1) = \lambda Q'(0)$

即：

$Q_1=Q_0+\frac{m}{\lambda n}(P_m-P_{m-1})$

# Bézier 曲面

在空间给定 $(m+1)\times(n+1)$ 个点 $P_{ij}(i=0,1,\dots,n; j=0,1,\dots,m)$ ，称下列张量积形式的参数曲面为 $m \times n$ 的 Bézier 曲面：

$S(u,v) = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m P_{ij} B_{i,n}(u)B_{j,m}(v), \quad u,v \in [0,1]$

一般称 $P_{ij}$ 为 Bézier 曲面 $S(u,v)$ 的控制顶点；把由两组多边形 $P_{i0}P_{i1}\dots P_{im}(i=0,1,\dots,n)$ 和 $P_{0j}P_{1j}\dots P_{nj}(j=0,1,\dots,m)$ 组成的网称为 Bézier 曲面 $S(u,v)$ 的控制网格，记为 $\{P_{ij}\}$ 。

# Bézier 曲面的性质

# 端点位置

四个端点分别是 $P_{00}$ , $P_{0m}$ , $P_{n0}$ , $P_{nm}$ 。这是因为：

$\begin{align*} S(0, 0) &= P_{00} \\ S(1, 0) &= P_{n0} \\ S(0, 1) &= P_{0m} \\ S(1, 1) &= P_{nm} \end{align*}$

# 边界曲线

$S(u, 0)$ , $S(u, 1)$ , $S(0, v)$ , $S(1, v)$ 的四条边界线分别是以 $P_{00}, P_{01}, P_{02}, \dots, P_{0m}$ 和 $P_{n0}, P_{n1}, P_{n2}, \dots, P_{nm}$ 以及 $P_{00}, P_{10}, P_{20}, \dots, P_{n0}$ 和 $P_{0m}, P_{1m}, P_{2m}, \dots, P_{nm}$ 为控制多边形的 Bézier 曲线。

# 端点的切平面

由控制顶点 $P_{00}$ , $P_{10}$ , $P_{01}$ 所在的平面在点 $P_{00}$ 处与曲面 $S(u, v)$ 相切。同理，控制顶点 $P_{0m}$ , $P_{1m}$ , $P_{0(m-1)}$ 所在的平面在点 $P_{0m}$ 处与曲面 $S(u, v)$ 相切；控制顶点 $P_{n0}$ , $P_{(n-1)0}$ , $P_{n1}$ 所在的平面在点 $P_{n0}$ 处与曲面 $S(u, v)$ 相切；控制顶点 $P_{nm}$ , $P_{(n-1)m}$ , $P_{n(m-1)}$ 所在的平面在点 $P_{nm}$ 处与曲面 $S(u, v)$ 相切。

# 端点法线方向

由端点的切平面可知， $P_{00}$ 点的法线方向为 $P_{00}P_{01} \times P_{00}P_{10}$ 。其余各端点 $P_{0m}$ , $P_{n0}$ , $P_{nm}$ 的法线方向情况也类似。

# 凸包性

曲面 $S(u, v)$ 位于其控制顶点 $P_{ij} (i = 0, \dots, n; j = 0, \dots, m)$ 的凸包内。

# 几何不变性

曲面 $S(u, v)$ 的形状和位置与坐标系的选取无关，仅与各控制顶点的位置有关。

# Bézier 曲面的微分

对于一个 $n \times m$ 阶的 Bézier 曲面 $S(u, v)$ ，其偏微分可以表示为：

$\frac{\partial S(u, v)}{\partial u} = n\sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{m} (P_{i+1,j} - P_{i,j}) B_{i,n-1}(u) B_{j,m}(v)$

$\frac{\partial S(u, v)}{\partial v} = m\sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m-1} (P_{i,j+1} - P_{i,j}) B_{i,n}(u) B_{j,m-1}(v)$

# Bézier 曲面的法矢量

Bézier 曲面的法矢量等于两个偏微分的叉积；

# Bézier 曲面的几种表达形式

双一次 Bézier 曲面：

$S_{11}(u, v) = (1-u)(1-v)P_{00} + u(1-v)P_{10} + (1-u)vP_{01} + uvP_{11}$

这是一双曲抛物面（马鞍面）。

双二次 Bézier 曲面：

$S(u, v) = \sum_{i=0}^{2} \sum_{j=0}^{2} P_{ij} B_{i,2}(u) B_{j,2}(v)$

双三次 Bézier 曲面：

$S(u, v) = \sum_{i=0}^{3} \sum_{j=0}^{3} P_{ij} B_{i,3}(u) B_{j,3}(v)$

该曲面的四条边界都是三次 Bézier 曲线；可通过控制内部的四个控制顶点 $P_{11}$ , $P_{12}$ , $P_{21}$ , $P_{22}$ 来控制曲面内部的形状。

# Bézier 曲面拼接

两块曲面拼接时，若在其公共边界上任一点的切平面重合，则称这两曲面沿其公共边界达到了 $G^1$ 连续。

设 $m \times n$ 阶 Bézier 曲面 $S_1(u, v)$ 和另一块 $l \times m$ 阶曲面 $S_2(u, v)$ 拼接：

$S_1(u, v) = \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} P_{ij} B_{i,n}(u) B_{j,m}(v), \quad 0 \leq u \leq 1, \quad 0 \leq v \leq 1$

$S_2(u, v) = \sum_{i=0}^{l} \sum_{j=0}^{m} Q_{ij} B_{i,l}(u) B_{j,m}(v), \quad 0 \leq u \leq 1, \quad 0 \leq v \leq 1$

如果下列条件满足

$P_{nj} = Q_{0j}, \quad j = 0, 1, \dots, m$

$P_{n-1,j} P_{nj} = kQ_{0,j}Q_{1,j}, \quad j = 0, 1, \dots, m$

其中 $k$ 为常数，则 $S_1(u, v)$ 和 $S_2(u, v)$ 沿其公共边界 $S_1(1, v)$ 达到 $G^1$ 连续。

# B 样条曲线

Bézier 曲线有许多优越性，但有两点不足：

特征多边形的顶点个数决定了 Bézier 曲线的阶次，并且在阶次较大时，特征多边形对曲线的控制将会减弱；
Bézier 曲线不能作局部修改，改变一个控制点的位置对整条曲线都有影响，其原因是基函数 Bernstein 的参数 $u$ 在 $[0,1]$ 区间内均不为零。

1972 年，Gordon, Rie-feld 等人拓展了 Bézier 曲线，用 B 样条基函数代替 Bernstein 基函数，即形成了 B 样条曲线、曲面。