线性代数

思维导图

1 线性方程组

1.1 线性方程组

  • 由于二元一次方程表示平面上的一条直线,所以将一次方程称为线性方程,将一次方程组称为线性方程组

1.2 矩阵及其初等变换

矩阵的定义

  • m×nm \times n个数aij(i=1,2,,m;j=1,2,,n)a_{ij}(i=1,2,\dots,m;j=1,2,\dots,n)排成的mmnn列的数表,A=(a11a12a1na21a22a2nam1am2amn)A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &\ldots&a_{1n}\\a_{21} & a_{22} &\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots && \vdots\\a_{m1} &a_{m2} &\ldots& a_{mn}\end{pmatrix}称为mmnn列矩阵,简称m×nm \times n矩阵。

  • A=(aij)m×nA = (a_{ij} )_{m\times n}B=(bij)p×qB = (b_{ij} )_{p\times q},如果m=pm = pn=qn = q(此时称A与B是同型矩阵)且aij=bij(i=1,,m;j=1,,n)a_{ij}=b_{ij}(i=1,\dots,m;j=1,\dots,n)则称AABB相等,记作 A=BA = B

矩阵的初等变换

  • 称矩阵的下面三种变换分别为第一、第二、第三种初等行变换(类似定义三种初等列变换):
    1. 交换矩阵的某两行,记为rirjr_i \leftrightarrow r_j
    2. 以不等于0的数乘矩阵的某一行,记为krik \cdot r_i
    3. 把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上, 记为ri+krjr_i + k \cdot r_j
  • 行阶梯型矩阵
    1. 台阶左下方元素全为零
    2. 每个台阶上只有一行
    3. 每个台阶上第一个元素不为零
  • 行最简阶梯型矩阵
    1. 台阶左下方元素全为零
    2. 每个台阶上只有一行
    3. 每个台阶上第一个元素不为零
    4. 台阶上的第一个元素为1,且其所在列其它元素全为零
  • 定理1.1:只用初等行变换必能将矩阵化为行阶梯形,从而再化为行最简形,行阶梯形不唯一,行最简形唯一
  • 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与B等价,记作ABA\cong B

1.3 线性方程组的矩阵解法

定理1.2:非齐次线性方程组解的判定定理

  • 当T的台阶数为r+1时,方程组无解
  • 当T的台阶数为r时,方程组有解
    • 当r=n(未知量个数)时,方程组有唯一解
    • 当r<n时,方程组有无穷多解

定理1.3:齐次线性方程组解的判定定理

  • 当r=n(未知量个数)时,方程组有唯一零解
  • 当r<n时,方程组有无穷多解(非零解)

2 矩阵

2.1 矩阵的运算

  • 矩阵的加法:A=(aij)m×n,B=(bij)m×n,A+B=(a11+b11a12+b12a1n+b1na21+b21a22+b22a2n+b2nam1+bm1am2+bm2amn+bmn)A=(a_{ij})_{m\times n},B=(b_{ij})_{m\times n},A+B=\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12} & \cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots & a_{2n}+b_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn}\end{pmatrix}

  • 矩阵的数乘:kA=k(aij)m×n=(kaij)m×nkA=k(a_{ij})_{m\times n}=(ka_{ij})_{m\times n}

  • 矩阵的乘法:A=(aij)m×n,B=(bij)n×s,AB=(cij)m×sA=(a_{ij})_{m\times n},B=(b_{ij})_{n\times s},AB=(c_{ij})_{m\times s},其中cij=ai1b1j+ai2b2j++ainbnj=k=1saikbkjc_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj}=\sum\limits_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}

  • EmAm×n=Am×nEnE_mA_{m\times n}=A_{m \times n}E_n

  • 有了矩阵的乘法,方程组的矩阵表示形式可以用矩阵形式表示为AX=BAX=B,其中A=(a11a12a1na21a22a2nam1am2amn)A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}X=(x1x2xn)X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}B=(b1b2bm)B=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_m\end{pmatrix}A=(AB)\overline A =(A|B)称为方程组的增广矩阵,对应齐次方程组可用矩阵形式表示为AX=OAX=O

  • 方阵的幂:Ak=AAAA(kA相乘)A^k=A\cdot A\cdot A\cdots A(k个A相乘),规定A0=E,A1=AA^0=E,A^1=A

  • 当A与B可交换时,有下面二项展开式:(A+B)n=Cn0AnB0+Cn1An1B++CnnA0Bn(A+B)^n=C^0_nA^nB^0+C^1_nA^{n-1}B+\dots+C^n_nA^0B^n

  • 矩阵的转置:AT=(aji)n×mA^T=(a_{ji})_{n\times m}

  • 运算律

    1. 乘法结合律:(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)
    2. 乘法分配律:(A+B)C=AC+BC(A+B)C=AC+BC
    3. 乘法分配律:A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC
    4. 数乘结合律:k(AB)=(kA)B=A(kB)k(AB)=(kA)B=A(kB)
    5. 加法交换律:A+B=B+AA+B=B+A
    6. 加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C)(A+B)+C=A+(B+C)
    7. 数乘结合律:k(lA)=(kl)Ak(lA)=(kl)A
    8. 数乘分配律:(k+l)A=kA+lA(k+l)A=kA+lA
    9. 数乘分配律:k(A+B)=kA+kBk(A+B)=kA+kB
    10. AkAl=Ak+lA^kA^l=A^{k+l}
    11. (AB)2A2B2(AB)^2\neq A^2B^2
    12. (A+B)2A2+2AB+B2(A+B)^2\neq A^2+2AB+B^2
    13. A2B2(A+B)(AB)A^2-B^2\neq (A+B)(A-B)
    14. (AB)T=BTAT(AB)^T=B^TA^T
  • 对称矩阵:AT=AA^T=A

  • 反对称矩阵:AT=AA^T=-A

2.2 可逆矩阵

  • 可逆矩阵的定义:若AAnn阶方阵,存在一个nn阶方阵BB,使得AB=BA=EAB=BA=E,则称AA是可逆的,BB称为AA的逆矩阵,记作A1A^{-1}

  • 定理2.1 如果A可逆,则A的逆矩阵是唯一的

  • 可逆矩阵性质

    1. AA可逆,则A1A^{-1}可逆,且(A1)1=A(A^{-1})^{-1}=A
    2. AA可逆,则ATA^T可逆,且(AT)1=(A1)T(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T
    3. AA可逆,则kAkA可逆,且(kA)1=1kA1(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}
    4. AA可逆,BB可逆,则ABAB可逆,且(AB)1=B1A1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
    5. (A+B)1A1+B1(A+B)^{-1}\neq A^{-1}+B^{-1}
  • 定理2.2 设 A是n阶方阵,如果A可逆,则线性方程组
    有惟一解,且解可表示为X=A1BX=A^{-1}B

  • 用初等变换法求逆矩阵:

    • 把单位矩阵分别作第一、第二、第三种初等行变换得到的矩阵分别称为第一、第二、第三种初等矩阵
    • 性质:初等矩阵都是可逆的,且其逆矩阵仍是同一种初等矩阵Ei,j1=Ei,j,E(i(k))1=E(i(1k)),E(i,j(k))1=E(i,j(k))E_{i,j}^{-1}=E_{i,j},E_{(i(k))}^{-1}=E_{(i(\frac{1}{k}))},E_{(i,j(k))}^{-1}=E_{(i,j(-k))}
  • “左行右列”原则 对一个矩阵施行一次初等的左边乘以一个一次初等列相应的行变换,相当于在它初等矩阵;对一个矩阵施行变换,相当于在它的的初等矩阵。

  • 定理2.3 n阶方阵A可逆的充要条件是A可经过有限次初等行变换化成单位矩阵;即n阶方阵A可逆的充要条件是A行等价于单位矩阵E

  • 推论2.1

    1. 方阵可逆的充要条件是可以分解为有限个初等矩阵的乘积
    2. 方阵A可逆的充要条件齐次线性方程组AX=OAX=O只有零解
    3. 方阵A可逆的充要条件非齐次线性方程组AX=BAX=B有惟一解
  • 定理2.4 方阵A可逆的充分必要条件是存在方阵B使得BA=EBA=E

    • 推论:方阵A可逆的充分必要条件是存在方阵B使得AB=EAB=E
  • 定理2.5A,BA,B均为m×nm\times n阶矩阵,则:

    1. A,BA,B行等价的充要条件是存在m阶可逆矩阵P,使得PA=BPA=B
    2. A,BA,B等价的充要条件是存在m阶可逆矩阵P,n阶可逆矩阵Q,使得PAQ=BPAQ=B

2.3 分块矩阵

  • 分块矩阵的定义:把矩阵按照一定的规律分成若干个子矩阵,称为分块矩阵

3 行列式

3.1 行列式的定义及性质

定义:

  • 递归定义A=a11A11+a12A12++a1nA1n|A|=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+\dots +a_{1n}A_{1n}

展开定理:

  • k=1naikAik={A,i=k0,ik\sum\limits_{k=1}^na_{ik}A_{ik}= \begin{cases}|A|,&i=k\\0,&i\neq k\end{cases}
  • k=1nakjAkj={A,i=k0,ik\sum\limits_{k=1}^na_{kj}A_{kj}= \begin{cases}|A|,&i=k\\0,&i\neq k\end{cases}
  • 即行列式等于其任一行(列)元素与其对应的代数余子式乘积之和(亦即行列式可按任一行或任一列展开
  • 任一行(列)元素与另一行(列)元素所对应的代数余子式乘积之和为零(错行展开为零

性质

  • 有一行(列)元素为零的行列式等于零
  • 行列式的加法(区别于矩阵加法)
  • 矩阵的三类初等变换对行列式的影响
  • 有两行(列)元素相同(或成倍数)的行列式等于零
  • λA=λnA|\lambda A|=\lambda^n|A|
  • AT=A|A^T|=|A|

乘法定理

  • AB=AB|AB|=|A||B|

3.2 行列式的求解

  • 化三角法
  • 降阶法
  • 范德蒙德行列式:Dn=111x1x2xnx1n1x2n1xnn1=1i<jn(xjxi)D_n=\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\x_1&x_2&\cdots&x_n\\\vdots&\vdots&&\vdots\\x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1}\end{vmatrix}=\prod\limits_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)
  • 爪形行列式

3.3行列式的应用

伴随矩阵

  • AA=AA=AEAA^*=A^*A=|A|E

  • 方阵A可逆的充要条件是A0,A1=1AA|A|\neq 0, A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*

克莱姆法则

  • D=A0D=|A|\neq 0,则线性方程组Ax=BAx=B有唯一解x=A1B=1AABx=A^{-1}B=\frac{1}{|A|}A^*B
  • 设齐次线性方程组Ax=0Ax = 0,如果系数矩阵行列式D=A0D=|A|\neq 0,则方程组Ax=0Ax = 0只有零解。

4 向量空间

4.1 向量及其线性组合

向量的线性表示

  • 定义4.2 对于向量组A:α1,α2,,αnA:\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n,表达式k1α1+k2α2++knαnk_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots+k_n\alpha_n称为向量组AA的一个线性组合,又如果β\beta是向量组AA的一个线性组合,即存在数λ1,λ2,,λn\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n使得β=λ1α1+λ2α2++λnαn\beta=\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2+\dots+\lambda_n\alpha_n,则称向量β\beta能由向量组AA线性表示,或称向量组AA能线性表示向量β\beta,而λ1,λ2,,λn\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n称为向量β\beta在向量组AA下的线性表示系数,通常写成β=[α1,α2,,αn][λ1λ2λn]\beta=\begin{bmatrix}\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lambda_1\\\lambda_2\\\vdots\\\lambda_n\end{bmatrix}

  • 注意

    • 任一n元向量α=(α1,α2,,αn)T\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)^T都可由n元单位向量组EnE_n线性表示,即α=[En][α1α2αn]\alpha=\begin{bmatrix}E_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha_1\\\alpha_2\\\vdots\\\alpha_n\end{bmatrix}
  • 定理4.1 向量β\beta可由向量组A:α1,α2,,αnA:\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n线性表示

    • 按定义:存在数λ1,λ2,,λn\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n使得β=λ1α1+λ2α2++λnαn\beta=\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2+\dots+\lambda_n\alpha_n
    • 转换为方程组:方程组AX=βAX=\beta有解
    • 用矩阵的秩:r(A)=r(Aβ)r(A)=r(A|\beta)

向量组的等价

  • 定义:如果向量组A:α1,α2,,αnA:\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n能线性表示向量组B:β1,β2,,βmB:\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m,且向量组BB能线性表示向量组AA,则称向量组AA与向量组BB等价,记作ABA\cong B

  • 定理的4.2 如果向量组B:β1,β2,,βqB:\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_q中的每个向量都可由向量组A:α1,α2,,αpA:\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p线性表示,AX=BAX=B有解,B的列向量组能由A的列向量组线性表示,C的行向量组也能由B的行向量组线性表示

  • 定理 4.3 设矩阵A经过有限次初等行(列)变换为B,则A,B行(列)向量组等价。

4.2 向量组的线性相关性

一个n元向量组的线性相关性

  • 定义1:如果存在不全为零的数k1,k2,,knk_1,k_2,\dots,k_n使得k1α1+k2α2++knαn=0k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots+k_n\alpha_n=0,则称向量组A:α1,α2,,αnA:\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n线性相关,否则如果设k1α1+k2α2++knαn=0k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots+k_n\alpha_n=0,则必有k1=k2==kn=0k_1=k_2=\dots=k_n=0,则称向量组A:α1,α2,,αnA:\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n线性无关

  • 等价定义:当n2n \geq 2时,向量组A:α1,α2,,αnA:\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n线性相关的充要条件是向量组AA中至少有一个向量可由其余向量线性表示;向量组A:α1,α2,,αnA:\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n线性无关的充要条件是向量组AA中的任一向量都不能由其余向量线性表示

  • 结论1:n元向量组e1,e2,,ene_1,e_2,\dots,e_n线性无关。

  • 结论2:α,β\alpha,\beta(非零)线性相关\Leftrightarrow对应分量成比例。

  • 结论3:单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关;包含零向量的任何向量组线性相关

线性相关与齐次线性方程组之间的关系

  • 定理4.4 向量组A:α1,α2,,αnA:\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n线性相关(无关)的充要条件是齐次线性方程组AX=0AX=0有非零解(只有零解)

  • 定理4.5 设A是n阶方阵,则下列命题等价:

    1. A可逆
    2. AA的列向量组线性无关
    3. AA的行向量组线性无关
    4. AX=0AX=0只有零解
    5. r(A)=nr(A)=n
    6. A0|A|\neq 0
  • 推论

    • 向量个数m大于维数n必相关
    • 部分相关,则整体相关
    • 整体无关,则部分无关
    • 短的无关,则长的也无关
    • 长的相关,则短的也相关
  • 定理4.6 设向量组α1,α2,,αm\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m线性无关,且α1,α2,,αm,β\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m,\beta线性相关,则β\beta可由α1,α2,,αm\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m线性表示,且表示法唯一

4.3 向量组的秩

  • 定义:向量组A:α1,α2,,αmA:\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m的秩是向量组AA中的极大无关向量组中向量的个数,记作r(A)r(A)

  • 定理4.7 向量组A:α1,α2,,αmA:\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m线性无关的充要条件是r(A)=mr(A)=m,线性相关的充要条件是r(A)<mr(A)<m

  • 定理4.8 设A=[α1,α2,,αm]rB=[β1,β2,,βm]A=[\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m]\stackrel{r}{\rightarrow}B=[\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m]即A与B行等价,则A的列向量组与B的列向量组有相同的线性关系,即方程组AX=0AX=0BX=0BX=0同解,即r(A)=r(B)r(A)=r(B)

  • 定理4.9 设向量组A:α1,α2,,αqA:\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_q可以由向量组B:β1,β2,,βpB:\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_p线性表示,如果q>pq>p,则向量组AA线性相关;如果AA线性无关,那么qpq\leq p

    • 推论4.3 等价的线性无关向量组所含的向量个数相同
    • 推论4.4 一个向量组的任意两个极大无关组所含向量个数相等
    • 推论4.5 设向量组V的秩rankV=r, 则V中任意r个线性无关的向量都是V的极大无关组
    • 推论4.6 设向量组的秩rankV=r, 则其中任意向量个数大于r的向量组都线性相关
    • 推论4.7 设向量组A:α1,α2,,αqA:\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_q可由B:β1,β2,,βpB:\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_p线性表示,则r(A)r(B)r(A)\leq r(B)
    • 推论4.8 等价的向量组有相同的秩
  • 定义4.6 (极大无关组的等价定义)设V是一个向量组,若向量组α1,α2,,αr\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r是向量组V的一个极大无关组,则:

    1. V中有r个向量线性无关
    2. V中任意r+1个向量线性相关

4.4 矩阵的秩

  • 定理4.11 设A是n阶方阵,则下列命题等价:

    1. A可逆
    2. AA的列向量组线性无关
    3. AA的行向量组线性无关
    4. AX=0AX=0只有零解
    5. r(A)=nr(A)=n
    6. A0|A|\neq 0
    7. Am×nA_{m\times n},则Ax=0只有零解的充要条件是A是列满秩矩阵,即r(A)=nr(A)=n
  • 定理4.12 r(AB)min(r(A),r(B))r(AB)\leq min(r(A),r(B))r(A)r([Ab])r(A)+1r(A)\leq r([A|b])\leq r(A)+1

  • 定理4.13 矩阵A的秩r(A)=rr(A)=r的充要条件是A的一个r阶子式不为零,而所有的r+1阶子式都为零;当A所有的r+1阶子式都为零时,由行列式展开定理,A的所p(p>p+1)p(p>p+1)阶子式都为零

  • 定义4.8(矩阵秩的等价定义) 称矩阵A的非零子式的最高阶数为矩阵A的秩

  • 秩的重要性质

    1. 0r(Am×n)min{m,n}0 \leq r(A_{m\times n}) \leq min\{m,n\}
    2. r(AT)=r(A)r(A^T)=r(A)
    3. r(PAQ)=r(A)=r(PA)=r(AQ)r(PAQ)=r(A)=r(PA)=r(AQ)(P,Q可逆)
    4. max{r(A),r(B)}r[AB]r(A)+r(B)max\{r(A),r(B)\}\leq r\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}\leq r(A)+r(B)
    5. max{r(A),r(B)}r[AB]r(A)+r(B)max\{r(A),r(B)\}\leq r\begin{bmatrix}A|B\end{bmatrix}\leq r(A)+r(B)
    6. r(A)r([Ab])r(A)+1r(A)\leq r([A|b])\leq r(A)+1(b为列向量)
    7. r(AB)min{r(A),r(B)}r(AB)\leq min\{r(A),r(B)\}
    8. r(A+B)r(A)+r(B)r(A+B)\leq r(A)+r(B)
    9. Sylvester不等式:r(A)+r(B)nr(AB)r(A)+r(B)-n\leq r(AB)
    10. r(A)={nr(A)=n1r(A)=n10r(A)<n1r(A^*)=\begin{cases}n &r(A)=n\\1&r(A)=n-1\\0&r(A)<n-1\end{cases}

4.5 向量空间

向量空间及其子空间

  • 定义 设V为n维向量的集合,如果集合V非空,且集合V对于向量的加法和数乘运算封闭,则称V为向量空间

    • n维向量的全体是一个向量空间,记作RnR^n
    • 0维向量的全体是一个向量空间,记作{0}\{0\}
    • 向量空间如果不是零空间必含有无穷多个向量
  • 定义 设有向量空间V1,V2V_1,V_2,若V1V2V_1\subset V_2,则称V1V_1V2V_2的子空间,V总是RnR^n的子空间

  • 定义 设α1,α2,,αm\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m是一向量组,称{xx=λ1α1+λ2α2++λmαm,λiR}\{x|x=\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2+\dots+\lambda_m\alpha_m,\lambda_i \in R\}为该向量组张成的子空间,记作span(α1,α2,,αm)span(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m)L{α1,α2,,αm}L\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m\};特别地,由矩阵A的列向量生成的向量空间称为A的列空间(或称像空间或称值域),记作R(A)R(A)

基底、维数、坐标

  • 定义 向量空间V{0}V≠\{0\}的一个最大无关组,又称V的一个基(或坐标系),V的基中向量的个数称为V的维数,记作dim(V)dim(V),零空间的维数为0

  • 定理4.14 (基的扩张定理)设α1,,αm\alpha_1,\dots,\alpha_mRnR^n的一组线性无关组,m<nm<n,则存在n-m个向量αm+1,,αn\alpha_{m+1},\dots,\alpha_n,使得α1,,αm,αm+1,,αn\alpha_1,\dots,\alpha_m,\alpha_{m+1},\dots,\alpha_nRnR^n的一组基

  • 定义 设向量空间V的一个基为α1,α2,,αm\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m,则对V中任意向量α\alpha可唯一地表示为α=λ1α1+λ2α2++λmαm\alpha=\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2+\dots+\lambda_m\alpha_m,称λ1,λ2,,λm\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_mα\alpha在基α1,α2,,αm\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m下的坐标

  • 定义 设r维向量空间的两个基α1,α2,,αr\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_rβ1,β2,,βr\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_r,则β1,β2,,βr\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_r可由α1,α2,,αr\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r线性表示[β1,β2,,βr]=[α1,α2,,αr]P[\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_r]=[\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r]P,称P为从基α1,α2,,αr\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r到基β1,β2,,βr\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_r的过渡矩阵,显然P可逆

4.6 线性方程组解的结构

线性方程组解的存在性定理

  • 非齐次方程组解的存在性定理:对于非齐次方程组Am×nx=BA_{m\times n}x=B

    • 有解r(A)=r(AB)\Leftrightarrow r(A)=r(A|B)\Leftrightarrow向量β\beta可由A的列向量组α1,α2,,αn\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n线性表示
    • 有唯一解r(A)=r(AB)=n\Leftrightarrow r(A)=r(A|B)=n
    • 有无穷多解r(A)=r(AB)<n\Leftrightarrow r(A)=r(A|B)<n
  • 对于齐次方程组Am×nx=0A_{m\times n}x=0

    • 有唯一零解r(A)=n\Leftrightarrow r(A)=n\LeftrightarrowA的列向量组线性无关
    • 有无穷多解r(A)<n\Leftrightarrow r(A)<n\LeftrightarrowA的列向量组线性相关
    • 推论1 当方程的个数小于未知量的个数时,方程组必有非零解

齐次线性方程组解的结构

  • 性质:

    1. xi1,xi2xi_1,xi_2是齐次线性方程组AX=0AX=0的解,则xi1+xi2xi_1+xi_2也是AX=0AX=0的解
    2. xi1xi_1是齐次线性方程组AX=0AX=0的解,则kxi1kxi_1也是AX=0AX=0的解
    3. 齐次线性方程组AX=0AX=0的解集是一个向量空间,称为齐次线性方程组的解空间,在解空间中,基的概念我们在这里称为基础解系
  • 基础解系:设ξ1,ξ2,,ξnr\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_{n-r}AX=0AX=0的解满足:

    1. ξ1,ξ2,,ξnr\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_{n-r}线性无关
    2. AX=0AX=0的任一解可由ξ1,ξ2,,ξnr\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_{n-r}线性表示,则称ξ1,ξ2,,ξnr\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_{n-r}AX=0AX=0的一个基础解系。从而x=k1ξ1+k2ξ2++ktξtx=k_1\xi_1+k_2\xi_2+\dots+k_t\xi_t是也是AX=0AX=0的解
  • 定理 设A是m×nm\times n矩阵,如果r(A)=r<nr(A)=r<n,则齐次线性方程组AX=0AX=0的基础解系存在,且每个基础解系含有nrn-r个解向量

    • 推论 设A是m×nm\times n矩阵,如果r(A)=r<nr(A)=r<n,则齐次线性方程组AX=0AX=0的任意nrn-r个线性无关的解向量均可构成基础解系

非齐次线性方程组解的结构

  • 性质:

    1. η1,η2\eta_1,\eta_2都是非齐次线性方程组AX=BAX=B的解,则η1η2\eta_1-\eta_2AX=0AX=0的解
    2. η\eta是非齐次线性方程组AX=BAX=B的解,ξ\xiAX=0AX=0的解,则η+ξ\eta+\xi仍是AX=BAX=B的解
    3. η\eta^*是非齐次线性方程组AX=BAX=B的一个解(固定),则对于AX=BAX=B的任一解xxxηx-\eta^*AX=0AX=0的解,从而存在kik_i使得xη=i=1nrkiξix-\eta^*=\sum\limits_{i=1}^{n-r}k_i\xi_i,即x=η+i=1nrkiξix=\eta^*+\sum\limits_{i=1}^{n-r}k_i\xi_i,从而xxAX=BAX=B的解的充要条件是x=η+i=1nrkiξix=\eta^*+\sum\limits_{i=1}^{n-r}k_i\xi_i
  • 定理 设η\eta^*是非齐次线性方程组AX=BAX=B的任一个解,则AX=BAX=B的通解为x=k1ξ1+k2ξ2++ktξt+ηx=k_1\xi_1+k_2\xi_2+\dots+k_t\xi_t+\eta^*,其中ξ1,ξ2,,ξt\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_tAX=0AX=0的基础解系,k1,k2,,ktk_1,k_2,\dots,k_t为任意常数

  • 重要结论 设AB=0AB=0,则r(A)+r(B)nr(A)+r(B)\leq n

5 特征值与特征向量

5.1 特征值与特征向量的概念与性质

特征值与特征向量的概念

  • 定义 设ACn×nA\in C^{n\times n},如果存在数λ\lambda和非零向量ξ\xi,使得Aξ=λξ  (1)A\xi=\lambda\xi \ \ (1),则称λ\lambda是矩阵A的一个特征值,ξ\xi是A的属于特征值λ\lambda的一个特征向量,把(1)改写为(AλE)ξ=0(A-\lambda E)\xi=0,则(AλE)ξ=0(A-\lambda E)\xi=0有非零解ξ\xi的充要条件是AλE=0|A-\lambda E|=0,即AλE=0|A-\lambda E|=0的根称为矩阵A的特征值,AλE=0|A-\lambda E|=0的根称为矩阵A的特征值方程,AλE|A-\lambda E|称为矩阵A的特征多项式,由代数基本定理,n次代数方程在复数域内必有n个根,从而矩阵A必有n个特征值,包括重根在内

特征值与特征向量的性质

  1. AAATA^T有相同的特征值
  2. 设n阶矩阵A的特征值为λ1,λ2,,λn\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_nφ(z)=c0+c1z+c2z2++cmzm\varphi (z) = c_0+c_1z+c_2z^2+\dots+c_mz^m是一个n次多项式,则φ(A)=c0E+c1A+c2A2++cmAm\varphi (A) = c_0E+c_1A+c_2A^2+\dots+c_mA^m的特征值为φ(λ1),φ(λ2),,φ(λn)\varphi (\lambda_1),\varphi (\lambda_2),\dots,\varphi (\lambda_n)且对应的特征值相同
  3. 设n阶可逆矩阵A的n个特征值为λ1,λ2,,λn\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n,则A1A^{-1}的n个特征值为λ11,λ21,,λn1\lambda_1^{-1},\lambda_2^{-1},\dots,\lambda_n^{-1}且对应的特征向量相同
  4. 设n阶可逆矩阵A=[aij]A=[a_{ij}]的n个特征值为λ1,λ2,,λn\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n,则
  5. λ1+λ2++λn=tr(A)=a11+a22++ann\lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_n=tr(A)=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}
  6. λ1λ2λn=A\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n=|A|

5.2 方阵的对角化

相似变换

  • 定义 设A,B是n阶方阵,如果存在可逆矩阵P,使得P1AP=BP^{-1}AP=B,则称A与B相似,记作ABA\sim B,显然相似是一个等价关系;特别地,如果A与对角矩阵相似,则称A可对角化,对A进行的矩阵变换P1APP^{-1}AP称为A的相似对角形

  • 相似变换的性质

    1. 相似关系是一种等价关系(满足三条)
    2. ABA\sim B,则rank(A)=rank(B)rank(A)=rank(B)
    3. ABA\sim B,则A=B|A|=|B|
    4. ABA\sim B,则tr(A)=tr(B)tr(A)=tr(B)
    5. ABA\sim B,则λEA=λEB|\lambda E-A|=|\lambda E-B|
    6. ABA\sim B,则A与B有相同的特征值
    7. ABA\sim B,则φ(A)φ(B)\varphi (A)\sim \varphi (B),其中φ(z)=c0+c1z+c2z2++cmzm\varphi (z) = c_0+c_1z+c_2z^2+\dots+c_mz^m是一个m次多项式
    8. ABA\sim B,且A可逆,则A1B1A^{-1}\sim B^{-1}

矩阵可对角化的条件

  • 定理1 n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量

  • 定理2 不同特征值对应的线性无关的特征向量合并后仍是线性无关的

    • 推论(可对角化的充分条件) n阶矩阵A如有n个不同的特征值,则它有n个线性无关的特征向量,从而A可对角化.
  • 设n阶矩阵A的所有不同的特征值为λ1,λ2,,λt\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_t,则A的特征多项式可写成fA(λ)=λEA=(λλ1)r1(λλ2)r2(λλt)rtf_A(\lambda)=|\lambda E-A|=(\lambda-\lambda_1)^{r_1}(\lambda-\lambda_2)^{r_2}\dots(\lambda-\lambda_t)^{r_t},其中rir_iλi\lambda_i的代数重数,r1+r2++rt=nr_1+r_2+\dots+r_t=n,则A的属于λi\lambda_i的特征向量的个数至少为rir_i,也称λi\lambda_i是A的rir_i重特征值;特征值λi\lambda_i对应的线性无关的特征向量的最大个数为si=nrank(λiEA)s_i=n-rank(\lambda_i E-A),称sis_iλi\lambda_i的几何重数

  • 定理3 矩阵A的任一特征值λi\lambda_i的几何重数sis_i都不大于其代数重数rir_i,即1siri1\leq s_i\leq r_i

  • 定理4 矩阵A可对角化的充要条件是A的每个不同特征值的代数重数与几何重数相等

6 实对称矩阵与实二次型

6.1 欧式空间

  • 定义6.1 (内积的定义) 设有n维向量α=(α1,α2,,αn)T\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)^Tβ=(β1,β2,,βn)T\beta=(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n)^T,定义α\alphaβ\beta的内积为[α,β]=α1β1+α2β2++αnβn[\alpha,\beta]=\alpha_1\beta_1+\alpha_2\beta_2+\dots+\alpha_n\beta_n,称为欧式空间RnR^n的内积,其中αi,βi\alpha_i,\beta_i为实数,定义了内积的实向量空间称为Euclid空间

  • 性质6.1 (内积的性质)

    1. [α,β]=[β,α][\alpha,\beta]=[\beta,\alpha]
    2. [kα,β]=k[α,β][k\alpha,\beta]=k[\alpha,\beta]
    3. [α+β,γ]=[α,γ]+[β,γ][\alpha+\beta,\gamma]=[\alpha,\gamma]+[\beta,\gamma]
    4. [α,α]0[\alpha,\alpha]\geq 0,且[α,α]=0[\alpha,\alpha]=0的充要条件是α=0\alpha=0
  • 定义6.2 (向量的长度) α=[α,α]=α12+α22++αn2||\alpha||=\sqrt{[\alpha,\alpha]}=\sqrt{\alpha_1^2+\alpha_2^2+\dots+\alpha_n^2},称α||\alpha||为向量α\alpha的长度

  • 定理6.1 (Cauchy-Schwarz不等式) [α,β]2[α,α][β,β][\alpha,\beta]^2\leq [\alpha,\alpha][\beta,\beta],当且仅当α\alphaβ\beta线性相关时取等号

  • 性质6.2 (向量长度的性质)

    1. 非负性:α0||\alpha||\geq 0,且α=0||\alpha||=0的充要条件是α=0\alpha=0
    2. 齐次性:kα=kα||k\alpha||=|k|\cdot||\alpha||
    3. 三角不等式:α+βα+β||\alpha+\beta||\leq ||\alpha||+||\beta||
  • 定义6.3 (单位向量) 如果α=1||\alpha||=1,则称α\alpha为n维单位向量,向量β=1αα\beta=\frac{1}{||\alpha||}\alpha称为向量α\alpha的单位化向量

  • 定义6.4 (向量的夹角) 设α,β\alpha,\beta是n维非零向量,定义α\alphaβ\beta的夹角为0θπ0\leq \theta \leq \pi,使得cosθ=[α,β]αβcos\theta=\frac{[\alpha,\beta]}{||\alpha||\cdot||\beta||},其中θ\theta称为向量α\alphaβ\beta的夹角

  • 定义6.5 (向量的正交) 如果[α,β]=0[\alpha,\beta]=0,则称向量α\alphaβ\beta正交,记作αβ\alpha\perp\beta

  • 定义6.6 (规范正交基) 若一个不含零向量的向量组α1,α2,,αr\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r中的向量两两正交[αi,αj]=0(ij)[\alpha_i,\alpha_j]=0(i\neq j),则称该向量组为正交向量组,若每个向量的长度为1,即αi=1(i=1,2,,r)||\alpha_i||=1(i=1,2,\dots,r),则称α1,α2,,αr\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r为规范正交基;若该向量组是一个向量空间V的基,又分别称为V的正交基和规范正交基。例如,e1=(1,0,,0)T,e2=(0,1,,0)T,,en=(0,0,,1)Te_1=(1,0,\dots,0)^T,e_2=(0,1,\dots,0)^T,\dots,e_n=(0,0,\dots,1)^TRnR^n的一个规范正交基,再如,e1=(1,0,0)T,e2=(0,1,0)Te_1=(1,0,0)^T ,e_2=(0,1,0)^TV=xR3x=(x1,x2,0)T=span(e1,e2)V={x \in R^3|x=(x_1,x_2,0)^T}=span(e_1,e_2)的一个规范正交基

  • 定理6.2 正交向量组必线性无关

  • 定义6.7 (施密特正交化过程) 设α1,α2,,αn\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_nRnR^n中的一组线性无关向量,令β1=α1\beta_1=\alpha_1,对于i=2,3,,ni=2,3,\dots,n,令βi=αi[αi,β1][β1,β1]β1[αi,β2][β2,β2]β2[αi,βi1][βi1,βi1]βi1\beta_i=\alpha_i-\frac{[\alpha_i,\beta_1]}{[\beta_1,\beta_1]}\beta_1-\frac{[\alpha_i,\beta_2]}{[\beta_2,\beta_2]}\beta_2-\dots-\frac{[\alpha_i,\beta_{i-1}]}{[\beta_{i-1},\beta_{i-1}]}\beta_{i-1},则β1,β2,,βn\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_nRnR^n的一组规范正交基,称为施密特正交化过程

  • 定义6.8 (正交矩阵) 若n阶方阵满足ATA=EA^TA=E,则称A为正交矩阵,等价定义:A是正交矩阵AAT=EA1=AT\Leftrightarrow AA^T=E \Leftrightarrow A^{-1}=A^T\LeftrightarrowA的列组是规范正交组\LeftrightarrowA的行组是规范正交组

  • 性质6.4

    1. A是正交矩阵,则A1A^{-1}和A*都是正交矩阵
    2. A,B都是正交矩阵,则AB也是正交矩阵
    3. A是正交矩阵,则A=1|A|=11-1
    4. P是正交矩阵,则Px=x||Px||=||x||,即正交矩阵不改变向量的长度

6.2 实对称矩阵对角化

  • 定理6.3 实对称矩阵的特征值必为实数

  • 定理6.4 对称矩阵不同特征值对应的特征向量必正交

  • 定理6.5 设A是一个n阶实对称矩阵,则必存在一个n阶正交矩阵Q,使得Q1AQ=diag(λ1,λ2,,λn)Q^{-1}AQ=diag(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)是一个对角矩阵,即实对称矩阵必可对角化

  • 推论6.6 对称矩阵特征值的重数必等于其几何重数,即等于其对应的最大无关特征向量的个数,即ni=nr(λiEA)r(λiEA)=nnin_i=n-r(\lambda_i E-A)\Leftrightarrow r(\lambda_i E-A)=n-n_i

6.3 二次型及其矩阵表示

  • 定义1 含有n个变量x1,x2,,xnx_1,x_2,\dots,x_n的二次齐次多项式f(x1,x2,,xn)=i=1nj=1naijxixjf(x_1,x_2,\dots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_ix_j称为二次型

  • 定义2 (二次型的矩阵表示f=XTAXf=X^TAX,其中A为对称矩阵,也把二次型f称为对称矩阵A的二次型,对称矩阵A的秩称为二次型f的秩

  • 定义 只含平方项的二次型f=k1x12+k2x22++knxn2=(x1,,xn)diag(k1,,kn)(x1,,xn)Tf=k_1x_1^2+k_2x_2^2+\dots+k_nx_n^2=(x_1,\dots,x_n)diag(k_1,\dots,k_n)(x_1,\dots,x_n)^T称为标准型二次型(法式)

6.4 化二次型为标准型

非退化线性变换(可逆线性变换)

  • 定义 设X=(x1,x2,,xn)TX=(x_1,x_2,\dots,x_n)^TY=(y1,y2,,yn)TY=(y_1,y_2,\dots,y_n)^T,如果Y=CXY=CX,其中C是可逆矩阵,则称Y=CXY=CXX=YX=Y的可逆线性变换,当C为正交矩阵时,称Y=CXY=CXX=YX=Y的正交变换

  • 矩阵的合同 设A,B是n阶矩阵,如果存在可逆矩阵C,使得CTAC=BC^TAC=B,则称A与B合同,记作ABA\simeq B,显然合同是一个等价关系

  • 定理 设A为对称矩阵,且A与B合同,则

    1. B=CTACB=C^TAC仍为对称矩阵
    2. r(A)=r(B)r(A)=r(B)
  • 矩阵合同的性质

    1. 反身性:AAA\simeq A
    2. 对称性:ABBAA\simeq B \Leftrightarrow B\simeq A
    3. 传递性:AB,BCACA\simeq B,B\simeq C \Rightarrow A\simeq C

化二次型为标准形

正交变换法
  • 主轴定理 任给二次型f=i=1nj=1naijxixj(aij=aji)f=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_ix_j(a_{ij}=a_{ji}),总有正交变换X=PYX=PY,使得f=λ1y12+λ2y22++λnyn2f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\dots+\lambda_ny_n^2,其中λ1,λ2,,λn\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n是f的矩阵A的特征值

  • 正交变换化为标准形的优点:在几何中,可以保持曲线(曲面)的几何形状不变

6.5 正定二次型与正定矩阵

惯性定理

  • 定理 二次型必可化为规范形

  • 惯性定理 任何实二次型总可以经过一个适当的可逆线性变换化成规范形,规范形是唯一的。f=Z12+Z22++Zp2Zp+12Zr2f=Z_1^2+Z_2^2+\dots+Z_p^2-Z_{p+1}^2-\dots-Z_r^2,其中pp是f的正惯性指数,rr是f的秩,rpr-p为f的负惯性指数

正定二次型

  • 定义 设f(x1,x2,,xn)=XTAXf(x_1,x_2,\dots,x_n)=X^TAX是实二次型(A为实对称矩阵),如果对于任意非零向量X=(x1,x2,,xn)TRnX=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T\in R^n,恒有f(X)=XTAX>0f(X)=X^TAX>0,则称f为正定(半正定)二次型,称正定(半正定)二次型f的矩阵A为正定(半正定)矩阵。即二次型f(X)=XTAXf(X)=X^TAX是正定二次型\Leftrightarrow二次型的对称矩阵A是正定矩阵

  • 定理2 实二次型f=XTAXf=X^TAX是正定二次型\Leftrightarrow标准形中n个系数全为正数

  • 推论 实对称矩阵A正定\LeftrightarrowA的n个特征值全为正数\Leftrightarrow存在可逆矩阵P,使得A=PTPA=P^TP

  • 定理3 A正定\LeftrightarrowA的任一顺序主子式大于0,即a11>0,a11a12a21a22>0,,A>0|a_{11}|>0,\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}>0,\dots,|A|>0;A负定\Leftrightarrow奇数阶顺序主子式为负,偶数阶顺序主子式为正,即(1)ra11a12a1ra21a22a2rar1ar2arr>0(r=1,2,,n)(-1)^r\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1r}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2r}\\\dots&\dots&\dots&\dots\\a_{r1}&a_{r2}&\dots&a_{rr}\end{vmatrix}>0(r=1,2,\dots,n)


线性代数
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作者
Ivan Snow
发布于
2023年9月21日
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